Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Шаг 1. Определяем структуру треугольника.

Треугольник $ABC$ равнобедренный с $AC = BC = 4\sqrt{15}$, поэтому углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. Высота $AH$ проведена из вершины $A$ на сторону $BC$.

Шаг 2. Находим косинус угла $BAC$.

Дано: $\sin \angle BAC = 0{,}25 = \frac{1}{4}$.

По основному тригонометрическому тождеству: $$\cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

Шаг 3. Применяем определение высоты в треугольнике.

Высота $AH$ — это перпендикуляр из $A$ на $BC$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем: $$AH = AC \cdot \sin \angle ACH$$

Угол $\angle ACH$ — это угол $\angle ACB$ в исходном треугольнике. Из свойства суммы углов: $$\angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 2\angle BAC$$

Поэтому: $$\sin \angle ACB = \sin(180° - 2\angle BAC) = \sin 2\angle BAC = 2\sin \angle BAC \cos \angle BAC$$

Шаг 4. Вычисляем высоту.

$$AH = AC \cdot \sin \angle ACB = AC \cdot 2\sin \angle BAC \cos \angle BAC$$

$$AH = 4\sqrt{15} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 4\sqrt{15} \cdot \frac{2\sqrt{15}}{16} = \frac{4\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{15}}{16} = \frac{8 \cdot 15}{16} = \frac{120}{16} = \frac{15}{2} = 7{,}5$$