Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Шаг 1. Определим вид треугольника и угловые соотношения.

Треугольник ABC равнобедренный с условием $AC = BC$. Это означает, что основанием является AB, а углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$.

Шаг 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.

Высота AH перпендикулярна BC (или её продолжению), образуя прямоугольный треугольник ABH с прямым углом при H. В этом треугольнике:

• гипотенуза AB = 5
• $\angle ABH = \angle ABC = \angle BAC$ (так как это один и тот же угол)
• BH — катет, прилежащий к углу $\angle ABH$

Шаг 3. Найдём косинус угла BAC через синус.

Дано: $\sin \angle BAC = \frac{7}{25}$

Используем основное тригонометрическое тождество: $$\cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2}$$

$$= \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$$

Шаг 4. Найдём BH.

В прямоугольном треугольнике ABH: $$BH = AB \cdot \cos \angle ABH = AB \cdot \cos \angle BAC$$

(углы равны по пункту 1)

$$BH = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{120}{25} = 4,8$$