Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC = 27. Углы при основании AB равны: ∠BAC = ∠ABC. Высота AH проведена из вершины A к стороне BC.

Шаг 1. Найдём косинус угла BAC, используя основное тригонометрическое тождество. $$\cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABH (∠AHB = 90°) применим определение косинуса: $$BH = AB \cdot \cos \angle ABH$$

Поскольку ∠ABH = ∠BAC (углы при основании равнобедренного треугольника), то: $$BH = AB \cdot \cos \angle BAC$$

Шаг 3. Найдём AB из треугольника ABC. Используем теорему косинусов или заметим, что в равнобедренном треугольнике можно применить: $$AB = 2 \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$$

Это следует из того, что если опустить высоту из C на AB, она делит AB пополам, и каждая половина равна $AC \cdot \cos \angle BAC$.

Шаг 4. Подставим: $$BH = 2 \cdot AC \cdot \cos^2 \angle BAC = 2 \cdot 27 \cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 2 \cdot 27 \cdot \frac{5}{9} = \frac{270}{9} = 30$$

Альтернативно через синус: $$BH = 2 \cdot AC \cdot (1 - \sin^2 \angle BAC) = 2 \cdot 27 \cdot \left(1 - \frac{4}{9}\right) = 54 \cdot \frac{5}{9} = 30$$