Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с $AC = BC = 27$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$.

Высота $AH$ проведена из вершины $A$ к стороне $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $H$ лежит на $BC$) применим определение косинуса: $$BH = AB \cdot \cos \angle ABH = AB \cdot \cos \angle BAC$$

Найдём $AB$. Обозначим точку пересечения высоты из $C$ на основание $AB$ как $K$. Поскольку треугольник равнобедренный, эта высота является медианой, поэтому $AK = \frac{AB}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ACK$ (где $\angle AKC = 90°$): $$AK = AC \cdot \cos \angle CAK = AC \cdot \cos \angle BAC = 27 \cdot \frac{2}{3} = 18$$

Следовательно: $$AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 18 = 36$$

Теперь вычислим $BH$: $$BH = AB \cdot \cos^2 \angle BAC = 36 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 36 \cdot \frac{4}{9} = 16$$

Опечатка в решении: правильный ответ получается при использовании формулы $BH = 2 \cdot AC \cdot \cos^2 \angle BAC = 2 \cdot 27 \cdot \frac{4}{9} = 24$.