Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC.

Проведём высоту AH из вершины A. Она падает на сторону BC. Нужно найти отрезок BH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол AHB = 90°, так как AH — высота). В этом треугольнике:

• гипотенуза AB = 7
• ∠ABH = ∠ABC = ∠BAC (углы при основании равнобедренного треугольника)

Отрезок BH — это проекция гипотенузы AB на сторону BC: $$BH = AB \cdot \cos(\angle BAC)$$

Теперь выразим косинус через заданный тангенс. Дано: $\tan(\angle BAC) = \frac{33}{4\sqrt{33}}$

Используем формулу связи: $\cos^2(\alpha) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha)}$

Вычислим $\tan^2(\angle BAC)$: $$\tan^2(\angle BAC) = \left(\frac{33}{4\sqrt{33}}\right)^2 = \frac{33^2}{16 \cdot 33} = \frac{33}{16}$$

Тогда: $$\cos^2(\angle BAC) = \frac{1}{1 + \frac{33}{16}} = \frac{1}{\frac{49}{16}} = \frac{16}{49}$$

$$\cos(\angle BAC) = \frac{4}{7}$$

Наконец: $$BH = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4$$