ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27621. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100.

Показать ответ
20ответ для бланка

Разбор

Главная идея: Площадь равнобедренного треугольника выражается как 12a2sin⁡α\frac12 a^2\sin\alpha, где α\alpha — угол при вершине; при α=150∘\alpha=150^\circ синус равен 12\frac12.

Пусть боковая сторона равна aa. Угол между боковыми сторонами (при вершине CC) равен 150∘150^\circ.

Шаг 1. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: S=12a⋅a⋅sin⁡150∘.S=\frac12 a\cdot a\cdot \sin 150^\circ.

Шаг 2. sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\tfrac12, поэтому S=12a2⋅12=a24.S=\frac12 a^2\cdot\frac12=\frac{a^2}{4}.

Шаг 3. Подставляем S=100S=100: a24=100 ⇒ a2=400 ⇒ a=20.\frac{a^2}{4}=100\ \Rightarrow\ a^2=400\ \Rightarrow\ a=20.

Типичные ошибки

  • Считают sin⁡150∘\sin150^\circ отрицательным или равным 32\frac{\sqrt3}{2}.
  • Используют формулу с основанием и высотой, не зная их, и путают боковую сторону с основанием.
  • Забывают извлечь корень: дают ответ 400 вместо 20.

Ещё задачи этой подтемы