ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27800. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Теорема косинусов1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

В треугольнике ABC AC  =  BC, угол C равен 120°, AC = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . Найдите AB.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В равнобедренном треугольнике теорема косинусов с условием AC = BC значительно упрощается: вместо трёх переменных остаётся одна, и формула приобретает вид AB2=2AC2(1−cos⁡C)AB^2 = 2AC^2(1 - \cos C).

Треугольник ABC равнобедренный с AC = BC = 2√3 и углом C = 120°. Нужно найти основание AB.

Применим теорему косинусов для стороны AB: AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cos⁡CAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C

Поскольку AC = BC, упростим: AB2=AC2+AC2−2⋅AC⋅AC⋅cos⁡120°AB^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AC \cdot \cos 120° AB2=2AC2−2AC2⋅cos⁡120°AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos 120° AB2=2AC2(1−cos⁡120°)AB^2 = 2AC^2(1 - \cos 120°)

Знаем, что cos⁡120°=−12\cos 120° = -\frac{1}{2}, поэтому: 1−cos⁡120°=1−(−12)=321 - \cos 120° = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

Подставим AC = 2√3: AC2=(23)2=4⋅3=12AC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12

AB2=2⋅12⋅32=12⋅3=36AB^2 = 2 \cdot 12 \cdot \frac{3}{2} = 12 \cdot 3 = 36

AB=36=6AB = \sqrt{36} = 6

Типичные ошибки

  • Забывают, что cos⁡120°=−12\cos 120° = -\frac{1}{2}, а не 12\frac{1}{2}, и получают неправильный знак в выражении 1−cos⁡C1 - \cos C.
  • Ошибаются при вычислении AC2=(23)2AC^2 = (2\sqrt{3})^2, считая это равным 4√3 вместо 12.
  • Не используют симметрию равнобедренного треугольника и пытаются применять теорему косинусов без упрощения, что усложняет вычисления.

Ещё задачи этой подтемы