Задача 27799. Решение равнобедренного треугольника

В треугольнике ABC две стороны равны: $AC = BC$. Это равнобедренный треугольник.

Применим теорему косинусов для стороны AB: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$$

Поскольку $AC = BC$, обозначим эту длину через $x$. Тогда: $$AB^2 = x^2 + x^2 - 2x \cdot x \cdot \cos 120°$$ $$AB^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \cos 120°$$ $$AB^2 = 2x^2(1 - \cos 120°)$$

Знаем, что $\cos 120° = -\frac{1}{2}$, поэтому: $$AB^2 = 2x^2\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 2x^2 \cdot \frac{3}{2} = 3x^2$$

Подставим $AB = 2\sqrt{3}$: $$(2\sqrt{3})^2 = 3x^2$$ $$12 = 3x^2$$ $$x^2 = 4$$ $$x = 2$$

Следовательно, $AC = 2$.