ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27328. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 11.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла5.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC AC = BC = 4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , косинус BAC = 0,25. Найдите высоту AH.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; высота из одной вершины к противоположной стороне выражается через произведение соседней стороны на синус прилежащего угла.

Шаг 1. Найдём синус угла BAC.

Дано cos⁡∠BAC=0,25=14\cos \angle BAC = 0,25 = \frac{1}{4}. Используем основное тригонометрическое тождество: sin⁡∠BAC=1−cos⁡2∠BAC=1−116=1516=154\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}

Шаг 2. Найдём длину основания AB.

Треугольник равнобедренный с AC=BC=415AC = BC = 4\sqrt{15}. Обозначим KK — середину основания ABAB (где падает высота из CC). В прямоугольном треугольнике ACKACK: AK=AC⋅cos⁡∠BAC=415⋅14=15AK = AC \cdot \cos \angle BAC = 4\sqrt{15} \cdot \frac{1}{4} = \sqrt{15}

Тогда AB=2⋅AK=215AB = 2 \cdot AK = 2\sqrt{15}.

Шаг 3. Найдём высоту AH.

Проведём высоту AHAH из вершины AA к стороне BCBC. В прямоугольном треугольнике ABHABH (где HH лежит на BCBC): AH=AB⋅sin⁡∠ABHAH = AB \cdot \sin \angle ABH

Поскольку треугольник равнобедренный, ∠ABH=∠BAC\angle ABH = \angle BAC (углы при основании равны). Следовательно: AH=AB⋅sin⁡∠BAC=215⋅154=2⋅154=304=7,5AH = AB \cdot \sin \angle BAC = 2\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{2 \cdot 15}{4} = \frac{30}{4} = 7,5

Типичные ошибки

  • Ошибка в расчёте синуса: забыли, что sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1, а не вычли неправильно.
  • Спутали, какой угол равен какому: в равнобедренном треугольнике ∠BAC=∠ABC\angle BAC = \angle ABC, а не ∠ACB\angle ACB.
  • Забыли, что AKAK — это половина основания, и использовали ACAC вместо ABAB при расчёте высоты.

Ещё задачи этой подтемы