Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

Шаг 1. Найдём синус угла BAC.

Дано $\cos \angle BAC = 0,25 = \frac{1}{4}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

Шаг 2. Найдём длину основания AB.

Треугольник равнобедренный с $AC = BC = 4\sqrt{15}$. Обозначим $K$ — середину основания $AB$ (где падает высота из $C$). В прямоугольном треугольнике $ACK$: $$AK = AC \cdot \cos \angle BAC = 4\sqrt{15} \cdot \frac{1}{4} = \sqrt{15}$$

Тогда $AB = 2 \cdot AK = 2\sqrt{15}$.

Шаг 3. Найдём высоту AH.

Проведём высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (где $H$ лежит на $BC$): $$AH = AB \cdot \sin \angle ABH$$

Поскольку треугольник равнобедренный, $\angle ABH = \angle BAC$ (углы при основании равны). Следовательно: $$AH = AB \cdot \sin \angle BAC = 2\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{2 \cdot 15}{4} = \frac{30}{4} = 7,5$$