Задание 1 ЕГЭ, математика (профиль): Решение равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике ABC с AC = BC высота CH, проведённая к основанию AB, одновременно является медианой. Это значит, что H делит AB пополам:

$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Высота CH перпендикулярна AB, поэтому треугольник AHC прямоугольный (угол H равен 90°). Применим теорему Пифагора для нахождения боковой стороны AC:

$$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC:

• гипотенуза $AC = 4$
• катет $AH = 2$

Замечаем, что катет AH равен половине гипотенузы AC. В прямоугольном треугольнике это возможно только если угол, противолежащий этому катету, равен 30°. Значит, $\angle ACH = 30°$.

Поскольку высота CH в равнобедренном треугольнике является также биссектрисой угла C (свойство равнобедренного треугольника), она делит угол C пополам:

$$\angle ACB = 2 \cdot \angle ACH = 2 \cdot 30° = 60°$$