ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 1Решение равнобедренного треугольника

Задача 27794. Решение равнобедренного треугольника

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 15.1.1 Треугольник

В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  4, высота CH равна  2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 51 задач
Разбор
Главная идея: В равнобедренном треугольнике высота к основанию — это одновременно медиана и биссектриса; используя теорему Пифагора и свойство угла в 30° (катет вдвое меньше гипотенузы), находим половину угла при вершине, затем удваиваем.

В равнобедренном треугольнике ABC с AC = BC высота CH, проведённая к основанию AB, одновременно является медианой. Это значит, что H делит AB пополам:

AH=AB2=42=2AH = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2

Высота CH перпендикулярна AB, поэтому треугольник AHC прямоугольный (угол H равен 90°). Применим теорему Пифагора для нахождения боковой стороны AC:

AC=AH2+CH2=4+12=16=4AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC:

  • гипотенуза AC=4AC = 4
  • катет AH=2AH = 2

Замечаем, что катет AH равен половине гипотенузы AC. В прямоугольном треугольнике это возможно только если угол, противолежащий этому катету, равен 30°. Значит, ∠ACH=30°\angle ACH = 30°.

Поскольку высота CH в равнобедренном треугольнике является также биссектрисой угла C (свойство равнобедренного треугольника), она делит угол C пополам:

∠ACB=2⋅∠ACH=2⋅30°=60°\angle ACB = 2 \cdot \angle ACH = 2 \cdot 30° = 60°

Типичные ошибки

  • Забывают, что в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, и берут AH = AB вместо AH = AB/2
  • Находят угол ACH = 30°, но забывают, что нужно найти угол ACB, а не ACH — не учитывают, что высота делит угол пополам
  • Ошибки в применении теоремы Пифагора: неправильно подставляют значения или неверно извлекают корень из 16

Ещё задачи этой подтемы