Задание 18 ЕГЭ: уравнение окружности с параметром

О чём эта подтема

В задании 18 профильного ЕГЭ система (или совокупность) уравнений и неравенств почти всегда содержит выражение вида $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ или его аналог через корень. Это уравнение окружности с центром $(x_0,y_0)$ и радиусом $R$, причём центр и радиус зависят от параметра. Задача сводится не к алгебре, а к геометрии на координатной плоскости: нужно понять, при каких значениях параметра окружность (иногда — точка, если радиус обращается в ноль) даёт нужное количество общих точек с прямой, полосой, углом между прямыми или другой окружностью, заданными оставшейся частью системы.

Главная трудность подтемы не в вычислениях, а в переводе алгебраического условия «ровно $k$ решений» на язык геометрии: пересечение, касание, вхождение точки в область. После такого перевода задача решается стандартными формулами расстояний.

Что нужно знать

1. Каноническая форма окружности. Если уравнение записано как $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=f(a)$, то:

• при $f(a)>0$ это окружность с центром $(x_0,y_0)$ и радиусом $R=\sqrt{f(a)}$;
• при $f(a)=0$ — это одна точка $(x_0,y_0)$;
• при $f(a)<0$ — множество пустое, решений нет.

Если уравнение дано через корень: $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=g(a)$, то поскольку левая часть неотрицательна, уравнение имеет смысл только при $g(a)\ge 0$; при этом условии это тоже окружность радиуса $R=g(a)$ (или точка при $g(a)=0$).

2. Расстояние от точки до прямой. Для прямой $Ax+By+C=0$ и точки $(x_0,y_0)$: $$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$ Эта формула — основной инструмент всех вычислений в подтеме.

3. Взаимное расположение окружности и прямой:

• если $d<R$ — прямая пересекает окружность в двух точках;
• если $d=R$ — прямая касается окружности (одна точка);
• если $d>R$ — общих точек нет.

4. Взаимное расположение двух окружностей с центрами на расстоянии $d$ и радиусами $R_1,R_2$: внешнее касание при $d=R_1+R_2$, внутреннее — при $d=|R_1-R_2|$, пересечение в двух точках при $|R_1-R_2|<d<R_1+R_2$, отсутствие общих точек при $d>R_1+R_2$ или $d<|R_1-R_2|$ (вторая окружность внутри первой).

5. Область, заданная неравенством с прямыми. Если условие вида $(y-kx)(y-mx)\le 0$ задаёт два вертикальных угла между прямыми $y=kx$ и $y=mx$, важно понимать: если часть окружности (дуга) целиком попадает внутрь такой области, то решений становится бесконечно много — это не подходит под условие «ровно $k$ решений». Конечное число решений получается именно на границе — при касании или при пересечении ровно в изолированных точках.

6. Локус центра. Часто координаты центра линейно зависят от параметра — центр «движется» по прямой при изменении $a$. Полезно явно выписать эту прямую, чтобы сразу видеть симметрию задачи.

Как решать: метод и алгоритм

1. Определить геометрический смысл каждого уравнения и неравенства. Выделить окружность (или точку), выписать явно центр и радиус как функции параметра.
2. Найти область допустимых значений параметра из условия неотрицательности радиуса (или подкоренного выражения).
3. Понять смысл второго условия — это прямая, полоса между двумя параллельными прямыми, угол между прямыми, окружность и т.д.
4. Перевести условие «ровно $k$ решений» в геометрическое условие. Как правило:

• если требуется одна точка пересечения — это касание (внешнее или внутреннее — критично выбрать нужный тип, иначе получится либо 0, либо бесконечно много решений);
• если требуется две точки — часто это одновременное касание двух границ области, либо пересечение с прямой без захода дуги внутрь запрещённой зоны.

5. Составить уравнение через формулу расстояния ($d=R$ либо $d=R_1\pm R_2$) и решить его относительно параметра.
6. Проверить каждое найденное значение подстановкой: убедиться, что тип касания (внутреннее/внешнее) соответствует нужному числу решений, а не даёт целую дугу или пустое пересечение.
7. Отдельно разобрать вырожденный случай — радиус равен нулю (окружность — точка); подставить точку в оставшееся условие системы.
8. Объединить все подходящие значения параметра в ответ.

Разбор примера

Пример 1

Система: $$\begin{cases}(y-2x)(2y-x)\le 0,\\[2mm]\sqrt{(x+a)^2+(y-a)^2}=\dfrac{|a+1|}{\sqrt5}.\end{cases}$$

Найти все $a$, при которых система имеет ровно два решения.

Шаг 1. Геометрия второго уравнения. Это окружность с центром $C(-a,a)$ и радиусом $R=\dfrac{|a+1|}{\sqrt5}$ (правая часть всегда неотрицательна, значит уравнение определено при любом $a$).

Шаг 2. Геометрия неравенства. Прямые $y=2x$ и $y=x/2$ делят плоскость на четыре угла; неравенство $(y-2x)(2y-x)\le 0$ выполняется в двух вертикальных углах, где множители имеют разные знаки (включая сами прямые как границы).

Шаг 3. Расположение центра. Подставим центр $(-a,a)$ в оба множителя: $y-2x=a-2(-a)=3a$, $2y-x=2a-(-a)=3a$. Значит произведение равно $9a^2\ge0$ — центр лежит в области, где неравенство не выполняется (кроме $a=0$, когда центр совпадает с началом координат — вершиной углов).

Шаг 4. Расстояния от центра до прямых. Для прямой $2x-y=0$: $$d_1=\frac{|2(-a)-a|}{\sqrt5}=\frac{3|a|}{\sqrt5}.$$ Для прямой $x-2y=0$: $$d_2=\frac{|-a-2a|}{\sqrt5}=\frac{3|a|}{\sqrt5}.$$ Расстояния равны — это следствие того, что центр лежит на биссектрисе противоположных (запрещённых) углов.

Шаг 5. Условие ровно двух решений. Поскольку центр находится вне разрешённой области, при $R<d_1=d_2$ окружность вообще не заходит в разрешённые углы (0 решений). При $R=d_1=d_2$ окружность касается обеих прямых — получаем ровно 2 точки касания, которые лежат на границе (граница входит в область, так как неравенство нестрогое). При $R>d_1$ окружность пересекает обе прямые и часть дуги оказывается внутри разрешённой области — тогда решений становится бесконечно много. Значит нужное условие — именно равенство $R=d_1$: $$\frac{|a+1|}{\sqrt5}=\frac{3|a|}{\sqrt5}\ \Longrightarrow\ |a+1|=3|a|.$$

Шаг 6. Решение уравнения. Возведём в квадрат: $(a+1)^2=9a^2$, откуда $8a^2-2a-1=0$. Дискриминант $D=4+32=36$, корни: $$a=\frac{2\pm6}{16}\ \Rightarrow\ a=\frac12,\quad a=-\frac14.$$

Шаг 7. Проверка. Оба значения дают положительный радиус ($a=1/2$: $R=1.5/\sqrt5$; $a=-1/4$: $R=0.75/\sqrt5$), и оба удовлетворяют исходному уравнению с модулями (проверка знаков подтверждает равенство). Значение $a=0$ не является корнем, поэтому особый случай (центр в вершине углов) не возникает.

Ответ: $a=\dfrac12$ или $a=-\dfrac14$.

Пример 2

Система: $$\begin{cases}|x+2y+1|\le 11,\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a.\end{cases}$$

Найти все $a$, при которых система имеет единственное решение.

Шаг 1. Геометрия неравенства. Перепишем как $-11\le x+2y+1\le11$, то есть полоса между параллельными прямыми $x+2y-10=0$ и $x+2y+13=0$.

Шаг 2. Геометрия уравнения. Центр $(a,2a)$, радиус $R=\sqrt{a+2}$ определён при $a\ge-2$; при $a=-2$ это точка $(-2,-4)$.

Шаг 3. Вырожденный случай $a=-2$. Проверим точку в неравенстве: $x+2y+1=-2-8+1=-9$, $|-9|=9\le11$ — условие выполняется, значит при $a=-2$ система имеет ровно одно решение. Это значение подходит.

Шаг 4. Случай $a>-2$ (настоящая окружность). Единственное решение возможно только при внешнем касании окружности к одной из границ полосы: касание снаружи даёт ровно одну общую точку, а остальная окружность лежит вне полосы. Если же касание внутреннее (центр внутри полосы), вся окружность окажется внутри полосы — решений бесконечно много, это не подходит.

Расстояния от центра $(a,2a)$ до границ: $$d_1=\frac{|a+4a-10|}{\sqrt5}=\frac{|5a-10|}{\sqrt5},\qquad d_2=\frac{|5a+13|}{\sqrt5}.$$

Условие касания первой границы: $R=d_1$: $$\sqrt{a+2}=\frac{|5a-10|}{\sqrt5}\ \Rightarrow\ 5(a+2)=(5a-10)^2.$$ Раскрываем: $5a+10=25a^2-100a+100$, то есть $25a^2-105a+90=0$, или $5a^2-21a+18=0$. Дискриминант $D=441-360=81$, корни: $$a=\frac{21\pm9}{10}\ \Rightarrow\ a=3,\quad a=1.2.$$

Шаг 5. Проверка типа касания. При $a=3$: центр $(3,6)$, $x+2y+1=3+12+1=16>11$ — центр вне полосы, касание внешнее — подходит. Проверим вторую границу: $d_2=|15+13|/\sqrt5=28/\sqrt5\approx12.5$, а $R=\sqrt5\approx2.24$ — окружность не достаёт до второй границы, всё верно.

При $a=1.2$: центр $(1.2,2.4)$, $x+2y+1=1.2+4.8+1=7$, $|7|<11$ — центр внутри полосы. Тогда касание внутреннее, и вся окружность лежит внутри полосы — решений бесконечно много. Это значение отбрасываем.

Шаг 6. Условие касания второй границы: $R=d_2$ приводит к уравнению $25a^2+125a+159=0$ с дискриминантом $D=15625-15900<0$ — вещественных корней нет.

Ответ: $a=-2$ или $a=3$.

Типичные ошибки

• Забывают проверить область допустимых значений параметра: если правая часть в $R^2$ отрицательна, уравнение вообще не задаёт множество точек, и такие значения нужно исключить сразу.
• Не рассматривают вырожденный случай $R=0$ (окружность превращается в точку) — это отдельная ветвь ответа, которую легко упустить.
• Путают внутреннее и внешнее касание: подставляют формулу $d=R$, находят корень, но не проверяют, лежит ли центр внутри или снаружи области — из-за этого в ответ попадают лишние значения, которые на самом деле дают бесконечно много решений (целая дуга), а не одно или два.
• При возведении уравнений с модулем в квадрат забывают, что могут появиться посторонние корни; каждый найденный корень нужно подставить в исходное уравнение с модулем и проверить знак.
• Не проверяют, что найденное касание к одной границе не сопровождается пересечением второй границы (может дать больше точек пересечения, чем требуется).
• Забывают, что граница входит в решение при нестрогом неравенстве, и наоборот — исключается при строгом; это меняет, входит ли точка касания в счёт решений.

На что обратить внимание на экзамене

Выписывайте центр и радиус явно, как только увидели уравнение окружности — это экономит время и снижает число ошибок. Делайте набросок на черновике: прямые, полосу, углы и примерное положение центра при разных знаках параметра — геометрическая картинка почти всегда подсказывает, какой тип касания нужен. Отдельно фиксируйте область допустимых значений параметра (неотрицательность радиуса) и не забывайте про вырожденный случай точки — часто именно он даёт «неожиданное» значение в ответе, как в примере 2 с $a=-2$. После нахождения корней обязательно возвращайтесь к геометрическому смыслу и проверяйте, что тип пересечения (одна точка, две точки, целая дуга) соответствует требуемому числу решений — формальное решение уравнения $d=R$ само по себе не гарантирует нужный ответ. Наконец, аккуратно оформляйте объединение всех найденных значений параметра в финальный ответ, не забывая отбросить посторонние корни, полученные при возведении в квадрат.