Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Правая часть $2x+2a$ должна быть неотрицательной (модуль слева ≥0), поэтому решения возможны только при $x\ge -a$; при $x< -a$ корней нет.

2. На области $x\ge -a$ раскрываем модуль двумя способами.

Первая ветвь: $x^2+a^2-6x-4a=2x+2a \Rightarrow x^2-8x+a^2-6a=0$. Выделяя полные квадраты: $(x-4)^2+(a-3)^2=25$ — окружность с центром $(4;3)$, радиус $5$. Условие $x\ge -a$ отсекает от неё дугу $\omega_1$ (её концы — точки $(0;0)$ и $(1;-1)$).

Вторая ветвь: $x^2+a^2-6x-4a=-(2x+2a) \Rightarrow x^2-4x+a^2-2a=0 \Rightarrow (x-2)^2+(a-1)^2=5$ — окружность с центром $(2;1)$, радиус $\sqrt5$. Аналогично получаем дугу $\omega_2$ с теми же концами $(0;0)$ и $(1;-1)$.

3. Число корней исходного уравнения при фиксированном $a=c$ равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $a=c$ с объединением дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ (по переменной $x$), так как каждая точка дуги соответствует одному значению $x$.

4. Анализируя геометрию каждой дуги, находим, при каких $c$ прямая $a=c$ пересекает дугу в двух точках, в одной или не пересекает вовсе. Складывая количество пересечений для обоих дуг и учитывая, что в точках $c=-1$ и $c=0$ дуги имеют общую точку (чтобы не считать её дважды), получаем, что суммарно четыре точки пересечения (то есть четыре корня) получаются именно при $$1-\sqrt5<a<-1\quad\text{и}\quad 0<a<1+\sqrt5.$$