Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Логарифм определён, когда $x^2+y>0$, а произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит уравнение распадается на $x^4+y^2=1$ или $x^2+y=1$ при условии $x^2+y>0$.

2. Делаем замену $t=x^2\ge0$. Получаем совокупность $t^2+y^2=1$ или $y=1-t$, при условии $y>-t$, и вторая часть системы $y=at+2$.

3. Каждому $t>0$ соответствуют два значения $x=\pm\sqrt t$, а $t=0$ – только одно ($x=0$). Чтобы получить ровно 4 решения по $x$, нужно ровно два различных значения $t>0$, при которых система выполняется.

4. На плоскости $(t,y)$ множество $G$ — это правая полуокружность $t^2+y^2=1,\;t\ge0$ и луч $y=1-t,\;t\ge0$, взятые только выше прямой $y=-t$ (строгое неравенство). Прямая $y=at+2$ — пучок прямых через точку $(0,2)$ с угловым коэффициентом $a$. Нужно подобрать $a$ так, чтобы прямая пересекала $G$ ровно в двух точках с $t>0$.

5. Особые положения прямой:

• $a_1$: прямая проходит через точку пересечения полуокружности с граничной прямой $y=-t$, то есть через $\left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right)$. Отсюда $a_1=-2\sqrt2-1$.
• $a_2$: прямая проходит через точку стыка полуокружности и луча $(1,0)$: $0=a_2\cdot1+2\Rightarrow a_2=-2$.
• $a_3$: прямая касается полуокружности, т.е. дискриминант уравнения $(at+2)^2+t^2=1$ равен нулю: $D=4a^2-12=0\Rightarrow a=\pm\sqrt3$, берём $a_3=-\sqrt3$ (касание правой дуги).

6. Анализ движения прямой при изменении $a$ показывает, что ровно два пересечения с $G$ при $t>0$ достигаются при $a\le a_1$ (пересечение с дугой и с лучом) и в отдельных точках $a=a_2$ и $a=a_3$ (пограничные случаи стыка и касания).

Итог: $a\in(-\infty;-2\sqrt2-1]\cup\{-2;-\sqrt3\}$.