Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Обозначим $A=(x+5)^2+y^2-a^2,\ B=9-x^2-y^2,\ C=x+y-a+5$. Система имеет вид $A\ln B=0,\ AC=0$ при области определения $B>0$, то есть $x^2+y^2<9$ (открытый круг $\omega$ радиуса 3). Если $A\ne0$, то из уравнений следует $\ln B=0$ и $C=0$, а если $A=0$ — оба уравнения выполняются автоматически. Значит на области определения система равносильна совокупности: $A=0$ (уравнение $(x+5)^2+y^2=a^2$ — окружность с центром $(-5;0)$) или системе $x^2+y^2=8,\ x+y=a-5$ (окружность радиуса $2\sqrt2$ и прямая). Все точки второй окружности лежат в $\omega$, так как $8<9$, поэтому её пересечения с прямой всегда допустимы. Первая окружность даёт бесконечно много точек, если хотя бы часть её попадает внутрь $\omega$; расстояние от начала координат до точек этой окружности лежит между $|5-|a||$ и $5+|a|$, поэтому пересечение с $\omega$ отсутствует при $|a|\le2$ или $|a|\ge8$ — только тогда первая окружность даёт 0 решений (иначе — бесконечно много, что не даёт ровно двух). Для прямой и окружности радиуса $2\sqrt2$ расстояние от центра до прямой $x+y=a-5$ равно $\dfrac{|a-5|}{\sqrt2}$; два пересечения при $\dfrac{|a-5|}{\sqrt2}<2\sqrt2\Leftrightarrow 1<a<9$, касание (1 решение) при $a=1$ или $a=9$. Чтобы всего было ровно два решения, нужно $1<a<9$ (для двух точек от прямой) и одновременно $|a|\le2$ или $|a|\ge8$ (чтобы первая окружность не добавляла решений). Пересекая эти условия: $(1;2]\cup[8;9)$. Крайние точки $a=1,9$ дают лишь одно решение (касание), поэтому исключаются.