Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Убираем логарифмы. Равенство $\log_3(a-x^2)=\log_3(a-y^2)$ возможно только если аргументы равны и положительны (иначе логарифм не определён). Значит система равносильна $$a-x^2=a-y^2,\quad a-x^2>0,\quad x^2+y^2=4x+6y.$$ Первое уравнение даёт $x^2=y^2$, то есть $y=\pm x$.

2. Преобразуем второе уравнение. Выделяя полные квадраты: $x^2-4x+4+y^2-6y+9=13$, то есть $$(x-2)^2+(y-3)^2=13$$ — окружность с центром $(2;3)$ и радиусом $\sqrt{13}$.

3. Условие существования логарифма. Неравенство $a-x^2>0$ означает $-\sqrt a<x<\sqrt a$ (при $a>0$) — вертикальная полоса вокруг оси $Oy$.

4. Ищем пересечения прямых с окружностью. При $y=x$: $(x-2)^2+(x-3)^2=13\Rightarrow 2x^2-10x=0\Rightarrow x=0$ или $x=5$. При $y=-x$: $(x-2)^2+(-x-3)^2=13\Rightarrow 2x^2+2x=0\Rightarrow x=0$ или $x=-1$. Таким образом все возможные решения системы имеют абсциссы $x=-1,\,0,\,5$ (точка $x=0$ даёт одно решение $(0;0)$, остальные — по одному).

5. Считаем количество решений. Решение системы существует только для тех из этих трёх точек, чья абсцисса попадает в открытую полосу $-\sqrt a<x<\sqrt a$. Нужно, чтобы ровно две из точек $x=-1,0,5$ лежали в этой полосе. Так как полоса симметрична относительно нуля, точка $x=0$ всегда входит (при $a>0$). Значит нужно, чтобы ровно одна из точек $x=-1$ и $x=5$ попала внутрь, а другая — нет.

Поскольку $|-1|<5$, при увеличении $\sqrt a$ сначала попадёт $x=-1$ (при $\sqrt a>1$), а $x=5$ попадёт только при $\sqrt a>5$. Значит ровно две точки внутри полосы, когда $$1<\sqrt a\le 5.$$

6. Возведение в квадрат. Так как обе части положительны, неравенство равносильно $1<a\le 25$.