Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Заменим корни: обе части неотрицательны, поэтому равенство $\sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2}$ равносильно $a-y^2=a-x^2$ при условии $a-x^2\ge0$, то есть $x^2=y^2$, т.е. $(x-y)(x+y)=0$ — объединение прямых $y=x$ и $y=-x$.

Второе уравнение $x^2+y^2=2x+4y$ преобразуем выделением полного квадрата: $(x-1)^2+(y-2)^2=5$ — окружность с центром $(1;2)$ и радиусом $\sqrt5$.

Условие $a-x^2\ge0$ равносильно $-\sqrt a\le x\le\sqrt a$ (при $a\ge0$; при $a<0$ решений нет).

Найдём точки пересечения прямых с окружностью.

Для $y=x$: $(x-1)^2+(x-2)^2=5 \Rightarrow 2x^2-6x=0 \Rightarrow x=0$ или $x=3$. Точки $(0;0)$ и $(3;3)$.

Для $y=-x$: $(x-1)^2+(-x-2)^2=5 \Rightarrow 2x^2+2x=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-1$. Точки $(0;0)$ и $(-1;1)$.

Точка $(0;0)$ общая, всего различных решений системы без учёта полосы — три: $(0;0)$, $(3;3)$, $(-1;1)$, с координатами $x$ равными $0,\ 3,\ -1$.

Теперь накладываем условие $|x|\le\sqrt a$:

• точка $(0;0)$: $|x|=0$, входит при любом $a\ge0$;
• точка $(-1;1)$: $|x|=1$, входит при $\sqrt a\ge1$, т.е. $a\ge1$;
• точка $(3;3)$: $|x|=3$, входит при $\sqrt a\ge3$, т.е. $a\ge9$.

Считаем число решений в зависимости от $a$:

• $a<0$ — решений нет (0);
• $0\le a<1$ — только точка $(0;0)$ (1 решение);
• $1\le a<9$ — точки $(0;0)$ и $(-1;1)$ (2 решения);
• $a\ge9$ — все три точки (3 решения).

Ровно два решения получаются при $a\in[1;9)$.