Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Замечаем, что выражения $\frac{|x-1|+|x+1|}{2}$ и $\frac{|y-7|+|y+7|}{2}$ не меняются при замене $x\to-x$, $y\to-y$ — значит, весь график первого уравнения симметричен относительно обеих осей. Достаточно построить его в области $x\ge0,\,y\ge0$ и отразить.

При $0\le y\le7$ второе слагаемое равно $\left(\frac{|y-7|+|y+7|}{2}+1\right)^2=8^2=64$. Тогда уравнение сводится к $\left(\frac{|x-1|+|x+1|}{2}-7\right)^2=36$, то есть $\frac{|x-1|+|x+1|}{2}-7=\pm6$. С учётом $x\ge0$ это даёт либо $x=13$, либо $0\le x\le1$ — получаем отрезок и точку.

При $y>7$ и $0\le x\le1$ левая часть равна $36+(y+1)^2=100$, откуда $y=7$ — не подходит (границе не удовлетворяет строгое неравенство).

При $y>7,\,x>1$ уравнение принимает вид $(x-7)^2+(y+1)^2=100$ — дуга окружности радиуса 10 с центром $(7,-1)$. Отражая всё построенное относительно осей, получаем фигуру: четыре дуги окружностей, два отрезка и прямоугольник посередине.

Второе уравнение $y=ax+8$ — пучок прямых через точку $(0;8)$. Считаем, при каких $a$ такая прямая пересекает построенную фигуру ровно в двух точках. Из чертежа видно: при $a=0$ решений четыре, а при $a\ne0$ нужное количество пересечений (ровно два) достигается, когда прямая проходит между касательной к дуге и прямой через