Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение $2x^2+2y^2=5xy$ переписываем как $2x^2-5xy+2y^2=0$ и разлагаем на множители: $(2x-y)(x-2y)=0$. Значит, множество решений первого уравнения — это две прямые, проходящие через начало координат: $y=2x$ и $y=\dfrac{x}{2}$.

Второе уравнение $(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4$ при $a\neq0$ задаёт окружность с центром $(a,a)$ и радиусом $R=a^2\sqrt5$ (при $a=0$ окружность стягивается в точку $(0,0)$, которая лежит на обеих прямых — получаем ровно одно решение, что не подходит).

Из‑за симметрии прямых относительно биссектрисы $y=x$ центр $(a,a)$ равноудалён от обеих прямых. Расстояние от точки $(a,a)$ до прямой $2x-y=0$ равно $d=\dfrac{|2a-a|}{\sqrt5}=\dfrac{|a|}{\sqrt5}$, и такое же расстояние до прямой $x-2y=0$.

Система имеет ровно два решения, когда окружность касается каждой из прямых ровно в одной точке, то есть когда $R=d$: $$a^2\sqrt5=\dfrac{|a|}{\sqrt5}.$$

Умножаем обе части на $\sqrt5$: $5a^2=|a|$, откуда $|a|(5|a|-1)=0$. Так как $a\neq0$, получаем $|a|=\dfrac{1}{5}=0,2$, то есть $a=\pm0,2$.