Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение содержит модуль, поэтому раскрываем его по знаку выражения $x-5y+5$.

1. При $x-5y+5\ge0$ уравнение упрощается: $x^2+4x+y^2+4y-57=0$, то есть $(x+2)^2+(y+2)^2=65$ — окружность с центром $O_1(-2;-2)$ и радиусом $\sqrt{65}$.

2. При $x-5y+5\le0$ получаем $(x+3)^2+(y-3)^2=65$ — окружность с центром $O_2(-3;3)$, тем же радиусом.

Обе окружности пересекаются в точках $A(-10;-1)$ и $B(5;2)$, лежащих как раз на границе $x-5y+5=0$. Значит первому уравнению соответствует объединение двух дуг $\omega_1$ (часть окружности $O_1$) и $\omega_2$ (часть окружности $O_2$) с общими концами $A$ и $B$ — получается фигура вроде «линзы» с изломами в этих точках.

Второе уравнение $y-2=a(x-5)$ — пучок прямых, проходящих через фиксированную точку $B(5;2)$ с угловым коэффициентом $a$. Значит нужно найти, при каких $a$ прямая через $B$ пересекает объединение дуг ровно в двух точках (одна из них — сама точка $B$).

Прямая через $A$ и $B$ имеет коэффициент $a=1/5$ — в этом случае прямая проходит сразу через обе точки излома, решений ровно два ($A$ и $B$).

Если прямая наклонена так, что касается одной из дуг именно в точке $B$ (то есть перпендикулярна радиусу в этой точке), она задевает только эту дугу в одной точке $B$, а вторую дугу пересекает ещё в одной новой точке — итого тоже два решения. Угловой коэффициент $O_1B$ равен $4/7$, значит касательная к $\omega_1$ в $B$ имеет коэффициент $a=-7/4$. Аналогично коэффициент $O_2B$ равен $-1/8$, касательная к $\omega_2$ в $B$ — $a=8$.

При выходе за эти предельные значения ($a<-7/4$ или $a>8$) прямая пересекает обе дуги ещё в одной точке, кроме $B$, то есть решений становится три (включая $A$).

Внутри промежутка между $-7/4$ и $1/5$ прямая цепляет только дугу $\omega_2$ в дополнительной точке, а дугу $\omega_1$ — нет; между $1/5$ и $8$ — наоборот, задевает только $\omega_1$. В обоих случаях ровно два решения.

Объединяя все промежутки, где решений ровно два (включая крайние значения касания), получаем $-\dfrac{7}{4}\le a\le 8$.