Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Область определения первого уравнения: $x\neq-2$. Умножив числитель на знаменатель равным нулю, получаем произведение множителей $(|y|-x-2)(x^2-4x+y^2+2)=0$, значит либо $|y|=x+2$, либо $x^2-4x+y^2+2=0$, т.е. $(x-2)^2+y^2=2$.

2. Первое равенство $|y|=x+2$ задаёт два луча (для $y\ge0$ и $y\le0$, при $x\ge-2$), второе — окружность с центром $(2;0)$ и радиусом $\sqrt2$. Точка $(-2;0)$ исключена, так как там знаменатель обращается в ноль.

3. Введём $k=\sqrt{a-3}\ge0$ (корень определён при $a\ge3$). Второе уравнение системы принимает вид $y=kx$ — пучок прямых через начало координат с неотрицательным угловым коэффициентом.

4. Считаем число пересечений прямой $y=kx$ с фигурой (окружность + два луча без точки $(-2;0)$):

• при $k=0$ прямая $y=0$ пересекает только окружность в двух точках $(2\pm\sqrt2;0)$ — луч в этой точке исключён. Итого 2 точки.
• при $0<k<1$ прямая пересекает окружность в двух точках и один из лучей (тот, где $x\in(-2,-1)$) — итого 3 точки.
• при $k=1$ прямая касается окружности в точке $(1;1)$ (одна точка) и пересекает второй луч в точке $(-1;-1)$ — итого 2 точки.
• при $k>1$ прямая не пересекает окружность, но пересекает оба луча — итого 2 точки.

5. Значит, ровно два решения получаются при $k=0$ или $k\ge1$.

6. Возвращаясь к параметру: $\sqrt{a-3}=0 \Rightarrow a=3$; $\sqrt{a-3}\ge1 \Rightarrow a-3\ge1 \Rightarrow a\ge4$.

Объединяя, получаем $a=3$ или $a\ge4$.