Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. ОДЗ первого уравнения. В знаменателе стоит $\sqrt{x}$, значит нужно $x\ge 0$, а поскольку деление на ноль запрещено, на самом деле $x>0$. При этом условии уравнение $\dfrac{x^2+y^2+4y-6x}{\sqrt{x}}=0$ равносильно $x^2+y^2+4y-6x=0$.

2. Выделяем полные квадраты. $$x^2-6x+y^2+4y=(x-3)^2-9+(y+2)^2-4=0\Rightarrow(x-3)^2+(y+2)^2=13.$$ Это окружность с центром $(3;-2)$ и радиусом $R=\sqrt{13}$. Заметим, что $3^2+(-2)^2=13$, значит точка $(0;0)$ лежит на этой окружности — важный ориентир.

3. Система превращается в: $$(x-3)^2+(y+2)^2=13,\quad x>0,\quad y=a+2.$$ Прямая $y=a+2$ горизонтальна, а нужно считать её пересечения только с той частью окружности, где $x>0$.

4. Считаем корни по x. Из уравнения окружности $x=3\pm\sqrt{13-(y+2)^2}$ (при условии, что подкоренное выражение $\ge0$, иначе решений нет). Меньший корень $x_1=3-\sqrt{13-(y+2)^2}$ положителен, если $\sqrt{13-(y+2)^2}<3$, то есть $(y+2)^2>4$, то есть $y>0$ или $y<-4$. Больший корень $x_2=3+\sqrt{...}$ всегда положителен (при существовании корня).

Значит:

• если $-2-\sqrt{13}<y<-4$ или $0<y<\sqrt{13}-2$ — оба корня положительны, 2 решения;
• если $y=-2-\sqrt{13}$ или $y=\sqrt{13}-2$ — корни совпадают (касание), 1 решение;
• если $-4\le y\le 0$ — только $x_2>0$, 1 решение;
• вне отрезка $[-2-\sqrt{13};\sqrt{13}-2]$ — решений нет.

5. Переходим к параметру $a=y-2$. Подставляя границы, получаем, что ровно два решения система имеет при $$-4-\sqrt{13}<a<-6\quad\text{или}\quad -2<a<\sqrt{13}-4.$$