Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Упрощаем первое уравнение. Из $4|y-3|=12-3|x|$ переносим слагаемые: $3|x|+4|y-3|=12$. Это уравнение задаёт ромб с центром в точке $(0;3)$, вершины которого лежат на прямых через 4 (по горизонтали) и 3 (по вертикали) — то есть полудиагонали равны 4 и 3.

2. Упрощаем второе уравнение. $y^2-a^2=3(2y-3)-x^2 \Rightarrow x^2+y^2-6y+9=a^2 \Rightarrow x^2+(y-3)^2=a^2$. Это окружность с центром $(0;3)$ и радиусом $r=|a|$ (при $a\ne0$, иначе точка).

3. Замена переменной. Положим $t=y-3$, чтобы центр ромба и окружности совпал с началом координат: $$3|x|+4|t|=12,\qquad x^2+t^2=a^2.$$ Число решений не изменится, так как замена линейная и обратимая.

4. Геометрический смысл. В плоскости $Oxt$ первое уравнение — ромб с полуосями 4 (по $x$) и 3 (по $t$), второе — окружность радиуса $r=|a|$ с центром в начале координат (в центре ромба). Нужно найти, при каких $r$ окружность пересекает границу ромба ровно в 4 точках.

5. Анализ пересечений. При малом $r$ (окружность внутри ромба, не касается сторон) — 0 точек; при увеличении радиуса окружность может коснуться сторон ромба (по 1 точке на каждой стороне — итого 4 точки касания) — это происходит, когда $r$ равен расстоянию от центра до стороны ромба. Стороны ромба — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 3 и 4, поэтому расстояние от центра до стороны (высота такого треугольника) равно $\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}$. При этом радиусе — ровно 4 точки касания, значит $|a|=\dfrac{12}{5}$.

Если $r$ больше этого расстояния, но меньше меньшего из полудиагоналей (3), окружность пересекает каждую сторону в двух точках — итого 8 точек. Если $3<r<4$, окружность выходит за пределы "узкой" части ромба (пересекает только 4 стороны, по одной точке на каждой) — снова 4 точки. При $r=3$ или $r=4$ окружность проходит через вершины ромба — число точек меняется (не 4). При $r>4$ окружность целиком охватывает ромб — 0 точек пересечения.

6. Итог. Ровно 4 общие точки получаются при $r=\dfrac{12}{5}$ или при $3<r<4$, то есть: $$|a|=\frac{12}{5}\quad\text{или}\quad 3<|a|<4.$$ Отсюда $a=\pm\dfrac{12}{5}$ или $a\in(-4;-3)\cup(3;4)$.