Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение $x+3|y|+5=0$ задаёт кривую: при $y\ge 0$ получаем $x=-3y-5$, при $y<0$ — $x=3y-5$. Обе части — лучи, выходящие из точки $(-5;0)$ влево, с угловыми коэффициентами $k=\pm\dfrac13$ (в переменных $y(x)$). Второе уравнение $(x-a)^2+y^2=4$ — окружность радиуса $2$ с центром $(a;0)$, который движется по оси $Ox$ при изменении параметра.

Число решений системы равно числу точек пересечения окружности с этой "уголковой" линией. Чтобы получить ровно 4 точки, окружность должна пересекать каждый из двух лучей ровно по два раза — центр должен быть слева от вершины $(-5;0)$ и находиться в определённом диапазоне.

Граница слева ($a_1$) — момент касания окружности с прямой (после чего пересечений с этим лучом становится меньше двух). Расстояние от центра $(a_1;0)$ до прямой $x+3y+5=0$ равно радиусу: $$\frac{|a_1+5|}{\sqrt{1^2+3^2}}=2 \;\Rightarrow\; |a_1+5|=2\sqrt{10}.$$ Так как по смыслу задачи $a_1<-5$, берём $a_1=-5-2\sqrt{10}$.

Граница справа ($a_2$) — момент, когда окружность проходит через саму вершину $(-5;0)$: расстояние между центром $(a_2;0)$ и вершиной равно радиусу: $$|a_2+5|=2 \;\Rightarrow\; a_2=-7 \text{ (так как } a_2<-5).$$ При $a=a_2$ окружность проходит через вершину, и число решений уменьшается до трёх, поэтому эта точка не включается.

Таким образом, четыре решения получаются при $a_1<a<a_2$, то есть при $-5-2\sqrt{10}<a<-7$.