ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнение окружности

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Координаты (x, a)Системы с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система

система выражений x в квадрате плюс 4 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка x плюс 3a в квадрате плюс 4a меньше 0,x в квадрате плюс a в квадрате =16 конец системы .

имеет решения.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Разложить квадратичное неравенство на множители, изобразить его решение как пару вертикальных углов на плоскости (a,x)(a,x), а второе уравнение — как окружность радиуса 4; найти точки пересечения границ угла с окружностью и определить, какие дуги лежат внутри угла.

  1. Разложим квадратный трёхчлен по xx: x2+4(a+1)x+3a2+4a=(x+a)(x+3a+4)x^{2}+4(a+1)x+3a^{2}+4a=(x+a)(x+3a+4). Значит первое условие системы записывается как (x+a)(x+3a+4)<0(x+a)(x+3a+4)<0.

  2. Рассмотрим плоскость с осями aa (горизонталь) и xx (вертикаль). Уравнения x=−ax=-a и x=−3a−4x=-3a-4 задают две прямые, которые пересекаются в одной точке и делят плоскость на четыре угла. Произведение (x+a)(x+3a+4)(x+a)(x+3a+4) отрицательно ровно в двух противоположных («вертикальных») углах — там точка лежит между прямыми.

  3. Второе уравнение x2+a2=16x^{2}+a^{2}=16 — окружность радиуса 44 с центром в начале координат этой же плоскости.

  4. Система имеет решение, если найдётся точка окружности, попадающая в один из этих двух углов. Границы углов пересекают окружность в точках, которые находим, подставив уравнения прямых в уравнение окружности:

  • из x=−ax=-a: a2+a2=16⇒a=±22a^{2}+a^{2}=16\Rightarrow a=\pm2\sqrt{2};
  • из x=−3a−4x=-3a-4: (−3a−4)2+a2=16⇒10a2+24a=0⇒a=0(-3a-4)^{2}+a^{2}=16\Rightarrow 10a^{2}+24a=0\Rightarrow a=0 или a=−2,4a=-2{,}4.
  1. Эти четыре значения делят окружность на дуги. Проверив расположение каждой дуги относительно углов (например, взяв пробную точку из каждой дуги и определив знак произведения (x+a)(x+3a+4)(x+a)(x+3a+4)), находим, что искомым дугам соответствуют промежутки a∈(−22, −2,4)a\in(-2\sqrt2,\,-2{,}4) и a∈(0, 22)a\in(0,\,2\sqrt2) — именно на них окружность лежит внутри нужных углов, то есть система имеет решения.

Типичные ошибки

  • Не заметить разложение x2+4(a+1)x+3a2+4a=(x+a)(x+3a+4)x^{2}+4(a+1)x+3a^{2}+4a=(x+a)(x+3a+4) и пытаться решать неравенство напрямую относительно xx без геометрической интерпретации.
  • Перепутать, какие два из четырёх углов (вертикальные) соответствуют знаку "<0", и взять соседние углы вместо противоположных.
  • Ошибиться в подстановке уравнений прямых в уравнение окружности или не проверить, какая из полученных дуг реально лежит в нужном угле, включив лишние промежутки.
Непонятно?

Похожие задачи