Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Уравнение $y-2=ax$ равносильно $y=ax+2$ — прямая, которая при любом $a$ проходит через фиксированную точку $A(0;2)$.

Разберём неравенство $((x-3)^2+(y-3)^2-1)((x-1)^2+y^2)\le0$. Второй множитель $(x-1)^2+y^2\ge0$ всегда, равен нулю только в точке $M(1;0)$. Значит произведение $\le0$ либо когда первый множитель $\le0$ (тогда второй множитель может быть любым неотрицательным, т.е. любым) — это круг $K(3;3)$ радиуса $1$ (включая границу), либо когда второй множитель равен нулю, т.е. в точке $M$, если там первый множитель $\ge0$: подставив, получаем $4+9-1=12>0$ — подходит. Итог: множество решений неравенства — круг $K$ плюс отдельная точка $M(1;0)$.

Система не имеет решений, если прямая $y=ax+2$ не пересекает круг $K$ и не проходит через $M$.

Прямая через $M$: $0-2=a\cdot1\Rightarrow a=-2$ — это значение надо исключить.

Найдём касательные из $A(0;2)$ к окружности $(x-3)^2+(y-3)^2=1$. Расстояние $AK=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$, радиус $1$, поэтому в прямоугольном треугольнике $\tan\frac{\alpha}{2}=\dfrac{1}{3}$ (где $\alpha$ — угол между касательными). По формуле $\tan\alpha=\dfrac{2\tan(\alpha/2)}{1-\tan^2(\alpha/2)}=\dfrac{2/3}{1-1/9}=\dfrac{3}{4}$. Одна касательная горизонтальна ($a=0$), вторая имеет угловой коэффициент $a=\dfrac34$.

Между этими значениями прямая пересекает круг, вне — не пересекает; при $a=0$ и $a=\dfrac34$ прямая касается круга, что даёт решение системы, поэтому эти точки исключаются.

Объединяя условия $a<0$ или $a>\dfrac34$ с исключением $a=-2$, получаем $a\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup\left(\dfrac34;+\infty\right)$.