Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение. Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$, выделяя полные квадраты: $3x^2-6ax+3a^2+3y^2-6ay+3a^2-6x+4a+3-a^2=0$, что равносильно $3(x-a)^2+3(y-a)^2-6(x-a)+3-2a-a^2=0$. Это нужно, чтобы привести уравнение к виду уравнения окружности $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$.

Шаг 2. Ещё раз выделяем квадрат по переменной $x-a$: $3(x-a)^2-6(x-a)+3=3(x-a-1)^2$, поэтому уравнение принимает вид $$(x-a-1)^2+(y-a)^2=\frac{a^2+2a}{3}.$$ Это окружность с центром $(a+1;\,a)$ и радиусом $R=\sqrt{\dfrac{a^2+2a}{3}}$ (при условии, что правая часть неотрицательна).

Шаг 3. Разбираемся с первым неравенством. $y(y+1)\le 0$ выполняется, когда $y$ между корнями квадратного трёхчлена, то есть $-1\le y\le 0$ — это горизонтальная полоса на плоскости.

Шаг 4. Условие единственности решения. Система имеет ровно одно решение, если окружность и полоса пересекаются в одной точке. Возможны два случая:

Случай 1: окружность касается границы полосы «снаружи», то есть центр находится вне полосы ($a<-1$ или $a>0$), а расстояние от центра до ближайшей границы равно радиусу:

• при $a<-1$: $(a+1)^2=\dfrac{a^2+2a}{3}\Rightarrow 2a^2+4a+3=0$ — дискриминант отрицателен, решений нет;
• при $a>0$: $a^2=\dfrac{a^2+2a}{3}\Rightarrow 2a^2-2a=0\Rightarrow a=1$ (подходит, так как $1>0$).

Случай 2: окружность вырождается в точку, лежащую внутри полосы: радиус равен нулю и центр удовлетворяет $-1\le a\le 0$: $a^2+2a=0\Rightarrow a=0$ или $a=-2$; из этих значений в полосу попадает только $a=0$.

Итог: единственное решение получается при $a=0$ и $a=1$.