Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Уравнение системы приводим к виду окружности выделением полных квадратов: $$3x^2+3y^2-6a(x+y)+5a^2-6x+4a+3=0 \Rightarrow (x-a-1)^2+(y-a)^2=\dfrac{a^2+2a}{3}.$$ Это окружность с центром $(a+1,\,a)$ и радиусом $R=\sqrt{\dfrac{a^2+2a}{3}}$ (нужно $a^2+2a\ge0$, т.е. $a\le-2$ или $a\ge0$).

Неравенство $y(y+1)\le0$ задаёт горизонтальную полосу $-1\le y\le0$.

Единственная точка пересечения окружности с полосой возможна в двух случаях.

1) Окружность вырождается в точку, когда $a^2+2a=0$, т.е. $a=0$ или $a=-2$. Точка должна лежать в полосе: центр имеет координату $y=a$, значит нужно $-1\le a\le0$. Подходит только $a=0$.

2) Окружность касается одной из границ полосы снаружи, а центр лежит вне полосы — тогда пересечение с полосой одна точка касания.

• Если $a>0$ (центр выше полосы), касание с $y=0$: расстояние от центра равно $a$, значит $a^2=\dfrac{a^2+2a}{3}\Rightarrow 2a^2-2a=0\Rightarrow a=1$ (подходит, т.к. $a>0$).
• Если $a<-1$ (центр ниже полосы), касание с $y=-1$: $(a+1)^2=\dfrac{a^2+2a}{3}\Rightarrow 2a^2+4a+3=0$ — дискриминант отрицателен, решений нет.

Итого единственное решение получается при $a=0$ и $a=1$.