Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Выделим полные квадраты в каждом уравнении. $x^2+y^2+2(2y-x)a=1+2a-4a^2 \Rightarrow (x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2$ $x^2+y^2+4(x-y)a=4+4a-7a^2 \Rightarrow (x+2a)^2+(y-2a)^2=(2+a)^2$ Это уравнения окружностей с центрами $O_1(a,-2a)$, $O_2(-2a,2a)$ и радиусами $R_1=|a+1|$, $R_2=|a+2|$ (если радиус не равен нулю).

2. Проверим особые случаи, когда радиус равен нулю. При $a=-1$ первое уравнение вырождается в точку $(-1,2)$, а подстановка её во второе уравнение даёт $25\ne1$ — решений нет, значит $a=-1$ не подходит. При $a=-2$ аналогично вырождается второе уравнение в точку $(4,-4)$, подстановка в первое даёт $100\ne1$ — тоже не подходит.

3. Для остальных $a$ обе линии — окружности. Система имеет единственное решение, когда окружности касаются друг друга — внешне или внутренне. Условие касания: расстояние между центрами равно сумме или модулю разности радиусов. Расстояние: $O_1O_2=\sqrt{(3a)^2+(-4a)^2}=5|a|$.

4. Составляем два уравнения касания: (1) $5|a|=|a+1|+|a+2|$ — внешнее касание, (2) $5|a|=\big||a+1|-|a+2|\big|$ — внутреннее касание.

5. Решая (1) по промежуткам знака выражений $a$, $a+1$, $a+2$, получаем $a=1$ и $a=-\dfrac{3}{7}$. Решая (2) аналогично, получаем $a=\dfrac15$ и $a=-\dfrac15$.

Все найденные значения не совпадают с исключёнными $a=-1,-2$, значит они и есть искомые.