Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Второе неравенство $|y|\le 1$ задаёт горизонтальную полосу между прямыми $y=1$ и $y=-1$ (включая границы).

Первое уравнение $(x-a)^2+\left(y-\dfrac1a\right)^2=\dfrac14$ — это окружность радиуса $R=\dfrac12$ с центром в точке $\left(a;\dfrac1a\right)$. Заметим, что при изменении параметра $a$ центр окружности всегда лежит на гиперболе $y=\dfrac1x$, так как ордината центра равна $1/a$, а абсцисса — $a$.

Решение системы — это точки пересечения окружности с полосой. Чтобы таких точек было ровно одна, окружность должна не пересекать полосу по дуге (иначе точек бесконечно много) и не лежать целиком внутри неё, а именно касаться одной из границ полосы, находясь при этом снаружи полосы. Тогда точка касания — единственная общая точка.

Пусть центр окружности выше полосы, то есть $\dfrac1a>1$. Тогда расстояние от центра до прямой $y=1$ равно $\dfrac1a-1$, и касание происходит при условии $\dfrac1a-1=R=\dfrac12$, то есть $\dfrac1a=\dfrac32$, откуда $a=\dfrac23$.

Аналогично, если центр ниже полосы, $\dfrac1a<-1$, расстояние до прямой $y=-1$ равно $-1-\dfrac1a$, и касание даёт $-1-\dfrac1a=\dfrac12$, то есть $\dfrac1a=-\dfrac32$, откуда $a=-\dfrac23$.

Проверка знаков подтверждает, что при этих значениях центр действительно вне полосы, окружность лишь касается её границы одной точкой, а других пересечений нет — значит, система имеет единственное решение именно при $a=\pm\dfrac23$.