Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Раскрываем модуль: $|x+2y+1|\le 11 \iff -11\le x+2y+1\le 11 \iff -12\le x+2y\le 10$. Это полоса между параллельными прямыми $x+2y=-12$ и $x+2y=10$ (нормаль к ним — вектор $(1,2)$).

2. Второе уравнение — окружность с центром $M(a,2a)$ и радиусом $r=\sqrt{2+a}$, значит нужно $a\ge -2$.

3. При $a<-2$ радиус мнимый — решений нет.

4. При $a=-2$ радиус $0$, единственная точка $(-2,-4)$. Проверяем неравенство: $|-2-8+1|=9\le 11$ — точка лежит в полосе, значит система имеет одно решение. Значение $a=-2$ подходит.

5. При $a>-2$ окружность имеет положительный радиус. Заметим, что центр $M(a,2a)$ всегда лежит на прямой $y=2x$, которая перпендикулярна границам полосы (так как их нормаль $(1,2)$ совпадает с направлением этой прямой). Эта прямая пересекает границы полосы в точках $A(-2{,}4;-4{,}8)$ и $B(2;4)$ — это основания перпендикуляров из любого центра на прямой $y=2x$ к каждой из границ.

6. Чтобы окружность и полоса имели ровно одну общую точку, окружность должна касаться одной из границ снаружи именно в точке $A$ или $B$ (иначе точек пересечения либо нет, либо больше одной).

7. Касание в точке $A$ требует $a<-2{,}4$ — противоречит условию $a>-2$, отбрасываем.

8. Касание в точке $B$: расстояние $MB$ должно равняться радиусу: $$(a-2)^2+(2a-4)^2=2+a.$$ Раскрывая: $5a^2-21a+18=0$, откуда $a=3$ или $a=1{,}2$.

9. Для касания именно в $B$ (а не пересечения в двух точках) нужно $a>2$ — подходит только $a=3$.

Итог: единственное решение при $a=-2$ и $a=3$.