Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Приведём оба уравнения к каноническому виду окружности, выделив полные квадраты: $$(x-a)^2+(y+2a)^2=(1+a)^2,\qquad (x+2a)^2+(y-2a)^2=(2+a)^2.$$

Правые части — квадраты радиусов, поэтому нужно проверить, когда они равны нулю: при $a=-1$ первое уравнение превращается в точку $(-1,2)$, а второе даёт окружность радиуса 1 с центром $(2,-2)$ — точка не лежит на этой окружности, решений нет. При $a=-2$ аналогично: второе уравнение — точка $(4,-4)$, не лежащая на первой окружности. Значит эти значения не подходят.

При $a\neq-1,-2$ оба уравнения задают настоящие окружности с центрами $O_1(a,-2a)$, $O_2(-2a,2a)$ и радиусами $R_1=|a+1|$, $R_2=|a+2|$. Система имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда окружности касаются — внешне или внутренне, то есть расстояние между центрами равно сумме или модулю разности радиусов.

Расстояние между центрами: $$O_1O_2=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5|a|.$$

Условие внешнего касания: $$5|a|=|a+1|+|a+2|,$$ решая по промежуткам, получаем $a=1$ и $a=-\dfrac{3}{7}$.

Условие внутреннего касания: $$5|a|=\big||a+1|-|a+2|\big|,$$ решая, получаем $a=\pm\dfrac15$.

Все четыре значения удовлетворяют условиям $a\neq-1,-2$, поэтому они и составляют ответ.