Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Первое неравенство $(x-1)(x+2)\le 0$ задаёт полосу $-2\le x\le1$ (парабола с корнями $-2$ и $1$, ветви вверх, отрицательна между корнями).

2. Второе уравнение делим на 8 и группируем по $x$ и $y$, выделяя полные квадраты: $$8x^2-16ax+8a^2+8y^2+16ay+8a^2-a^2-48y-50a+72=0$$ $$8(x-a)^2+8(y+a)^2-48(y+a)+72-a^2-2a=0.$$ Ещё раз дополняем до полного квадрата по $y+a-3$: $$8(x-a)^2+8(y+a-3)^2=a^2+2a.$$ Делим на 8: $$(x-a)^2+(y-(3-a))^2=\frac{a(a+2)}{8}.$$ Это окружность с центром $(a;\,3-a)$ и радиусом $R=\sqrt{\dfrac{a(a+2)}{8}}$ (при $a(a+2)\ge0$).

3. Единственное решение системы — единственная общая точка окружности и полосы. Это возможно в двух случаях:

а) Окружность стягивается в точку, т.е. $R=0$, а центр лежит в полосе: $$a^2+2a=0\Rightarrow a=0\ \text{или}\ a=-2,$$ оба значения удовлетворяют $-2\le a\le1$ — подходят.

б) Окружность касается полосы снаружи, т.е. центр вне полосы, а радиус равен расстоянию до ближайшей границы:

• если $a<-2$: $(a+2)^2=\dfrac{a(a+2)}{8}\Rightarrow a+2=\dfrac{a}{8}\Rightarrow a=-\dfrac{16}{7}$ (удовлетворяет $a<-2$);
• если $a>1$: $(a-1)^2=\dfrac{a(a+2)}{8}\Rightarrow7a^2-18a+8=0\Rightarrow a=2$ или $a=\dfrac47$; условию $a>1$ подходит только $a=2$.

4. Объединяя все найденные значения, получаем итоговый набор параметров.