Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение — сумма квадратов $(x-5a+1)^2+(y-2a-1)^2=a-2$. Слева всегда $\ge 0$, поэтому уравнение имеет смысл только при $a-2\ge 0$, т.е. $a\ge 2$. Если $a<2$, левая часть не может равняться отрицательному числу — решений нет уже из первого уравнения, значит вся система несовместна.

При $a=2$ радиус $\sqrt{a-2}=0$, окружность стягивается в точку $(5\cdot2-1;\,2\cdot2+1)=(9;5)$. Проверяем вторую строку: $3\cdot9-4\cdot5=7$, а правая часть $2a+3=7$ — совпадает. Точка лежит на прямой, значит при $a=2$ решение есть (одно), поэтому $a=2$ не входит в искомое множество.

При $a>2$ первое уравнение задаёт окружность с центром $O(5a-1;\,2a+1)$ и радиусом $R=\sqrt{a-2}$, второе — прямую $3x-4y-(2a+3)=0$. Система не имеет решений, если прямая не пересекает окружность, то есть расстояние от центра до прямой больше радиуса: $d>R$.

Считаем $d$ по формуле $d=\dfrac{|3x_0-4y_0-(2a+3)|}{\sqrt{3^2+4^2}}$: $3(5a-1)-4(2a+1)-(2a+3)=15a-3-8a-4-2a-3=5a-10=5(a-2)$. Так как $a>2$, $|5(a-2)|=5(a-2)$, а $\sqrt{9+16}=5$, поэтому $d=\dfrac{5(a-2)}{5}=a-2$.

Неравенство $d>R$ даёт $a-2>\sqrt{a-2}$. Разделим обе части на $\sqrt{a-2}>0$: $\sqrt{a-2}>1$. Возводим в квадрат (обе части положительны): $a-2>1\Rightarrow a>3$.

Объединяя случаи $a<2$ (уравнение окружности невозможно) и $a>3$ (прямая не достигает окружности), получаем, что система не имеет решений при $a<2$ и при $a>3$.