Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Первое уравнение $(x-2a+3)^2+(y-a)^2=2{,}25$ задаёт окружность $C_1$ с центром $O_1(2a-3;\,a)$ и радиусом $r_1=1{,}5$.

2. Второе уравнение $(x+3)^2+(y-a)^2=a^2+2a+1=(a+1)^2$ задаёт окружность $C_2$ с центром $O_2(-3;\,a)$ и радиусом $r_2=|a+1|$ (при $a=-1$ это точка $(-3;-1)$, не лежащая на $C_1$, значит система решений не имеет).

3. Система имеет ровно одно решение, когда окружности касаются — внешне или внутренне. Расстояние между центрами: $d=|O_1O_2|=|(2a-3)-(-3)|=|2a|$ (координаты $y$ совпадают).

4. Условие касания: $d=r_1+r_2$ или $d=|r_1-r_2|$, то есть $$|2a|=1{,}5+|a+1|,\qquad |2a|=|1{,}5-|a+1||.$$ Второе равенство раскрывается как $|2a|=0{,}5-a$-типа выражения после снятия модулей, что даёт систему из трёх линейных уравнений в зависимости от знака $a$ и $a+1$.

5. Рассматриваем три промежутка: $a>0$, $-1\le a\le0$, $a<-1$, и в каждом снимаем модули согласно знакам $2a$ и $a+1$. Получаем линейные уравнения:

• при $a>0$: $2a=a+2{,}5\Rightarrow a=2{,}5$; $2a=0{,}5-a\Rightarrow a=1/6$; третье не даёт положительных корней.
• при $-1\le a\le0$: $-2a=a+2{,}5\Rightarrow a=-5/6$ (не входит в промежуток, отбрасывается); $-2a=0{,}5-a\Rightarrow a=-1/2$; третье не подходит.
• при $a<-1$: все уравнения дают корни вне промежутка.

6. Отбираем допустимые корни по знаку: $a=5/2,\;1/6,\;-1/2,\;-5/6$ — все удовлетворяют условиям касания и не совпадают со случаем вырождения ($a=-1$).

Итог: система имеет единственное решение при найденных четырёх значениях $a$.