Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Раскроем модуль по знаку выражения $x+2y-5$.

Если $x+2y-5\ge0$: $x^2-2x+y^2-4y=2x+4y-10\Rightarrow (x-2)^2+(y-4)^2=10$ — окружность с центром $O_1(2;4)$, радиус $\sqrt{10}$.

Если $x+2y-5\le0$: $x^2-2x+y^2-4y=10-2x-4y\Rightarrow x^2+y^2=10$ — окружность с центром $O(0;0)$, тем же радиусом.

2. Найдём точки пересечения этих окружностей: вычитая уравнения, получаем $x+2y=5$. Подставив в $x^2+y^2=10$, находим $A(-1;3)$ и $B(3;1)$ — обе точки лежат на прямой $x+2y-5=0$, то есть являются общими концами двух дуг ($\omega_1$ — часть первой окружности, $\omega_2$ — часть второй). Вместе они образуют замкнутую «линзу».

3. Второе уравнение $2x-y=a$ задаёт прямую $y=2x-a$ с угловым коэффициентом $2$. У прямой $O_1O$ угловой коэффициент тоже $2$ (так как $\frac{4-0}{2-0}=2$), значит все прямые семейства параллельны линии центров — удобно следить, как такая прямая пересекает «линзу».

4. Через вершины: подставив $A,B$ в $2x-y=a$, получаем $a=-5$ (через $A$) и $a=5$ (через $B$) — здесь прямая проходит через общую точку дуг и даёт 3 решения.

5. Касание окружности $x^2+y^2=10$: радиус в точке касания параллелен нормали $(2,-1)$, откуда $x=-2y$, и с учётом $x^2+y^2=10$ получаем $y=\pm\sqrt2$, соответственно $a=\pm5\sqrt2$ — здесь прямая лишь касается дуги, решений 2.

6. Между этими значениями: при $5<a<5\sqrt2$ или $-5\sqrt2<a<-5$ прямая пересекает каждую дугу в двух точках — 4 решения; при $-5<a<5$ — по одной точке на дугу — 2 решения; при $|a|>5\sqrt2$ пересечений нет.

7. Более двух решений (3 или 4) получаем при $-5\sqrt2<a\leqslant-5$ и $5\leqslant a<5\sqrt2$.