Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Шаг 1. Разбираем первое уравнение по модулю.

Если $x^2+y^2\ge1$, модуль раскрывается со знаком плюс: $$2x-2y-2=x^2+y^2-1\ \Leftrightarrow\ (x-1)^2+(y+1)^2=1.$$ Это окружность $\omega_1$ с центром $O_1(1;-1)$ и радиусом 1 — она берётся только там, где выполняется условие $x^2+y^2\ge1$.

Если $x^2+y^2\le1$, модуль раскрывается со знаком минус: $$2x-2y-2=1-x^2-y^2\ \Leftrightarrow\ (x+1)^2+(y-1)^2=5.$$ Это окружность $\omega_2$ с центром $O_2(-1;1)$ и радиусом $\sqrt5$, взятая при $x^2+y^2\le1$.

Шаг 2. Находим границы дуг.

Обе окружности пересекают базовую окружность $x^2+y^2=1$ в точках $A(1;0)$ и $B(0;-1)$. Значит, множество решений первого уравнения — это объединение двух дуг с общими концами $A$ и $B$.

Шаг 3. Второе уравнение — пучок прямых.

$y=a(x-1)$ — прямая, проходящая через точку $A(1;0)$ с угловым коэффициентом $a$ (меняя $a$, поворачиваем прямую вокруг $A$).

Шаг 4. Считаем пересечения при разных $a$.

• При $a=1$ прямая проходит через $B$ — получаем ровно 2 точки ($A$ и $B$).
• При $a=2$ прямая перпендикулярна $O_2A$ (касается $\omega_2$ в точке $A$) и даёт вторую точку на $\omega_1$ — снова 2 решения.
• При $1<a<2$ прямая пересекает каждую дугу в точке $A$ и ещё в одной, но разных точках — итого 3 решения (более двух).
• При $0\le a<1$ прямая не даёт дополнительных пересечений — 1 решение.
• При $a<0$ или $a>2$ прямая пересекает только $\omega_1$ в двух точках — 2 решения.

Вывод. Более двух решений получается только при $1<a<2$.