Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение содержит модуль, поэтому раскрываем его по определению, рассматривая два случая в зависимости от знака выражения $x^2+y^2-25$.

Случай 1: $x^2+y^2\ge 25$. Тогда $|x^2+y^2-25|=x^2+y^2-25$, и уравнение принимает вид $x^2+20x+y^2-20y+75=x^2+y^2-25$, то есть $20x-20y+100=0$, откуда $y=x+5$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через $(-5;0)$ и $(0;5)$. Учитывая ограничение $x^2+y^2\ge25$, из прямой остаются только два луча — от точки $A(-5;0)$ и от точки $B(0;5)$, уходящие в бесконечность (часть прямой между A и B не подходит, так как там $x^2+y^2<25$).

Случай 2: $x^2+y^2<25$. Тогда модуль раскрывается со знаком минус: $x^2+20x+y^2-20y+75=-(x^2+y^2-25)$. Приводя подобные и выделяя полные квадраты, получаем $(x+5)^2+(y-5)^2=25$ — окружность с центром $Q(-5;5)$ и радиусом 5. С учётом условия $x^2+y^2<25$ остаётся только дуга $\omega$ с концами в тех же точках $A(-5;0)$ и $B(0;5)$ (та часть окружности, что ближе к началу координат).

Таким образом, множество решений первого уравнения — это объединение двух лучей $l_1,l_2$ (из случая 1) и дуги $\omega$ (из случая 2), примыкающих друг к другу в точках $A$ и $B$.

Второе уравнение $x-y=a$ задаёт прямую $m$ с угловым коэффициентом 1 — то есть параллельную (или совпадающую с) прямой из первого случая, поскольку та тоже имеет коэффициент 1. Значит, при движении параметра $a$ прямая $m$ либо совпадает с лучами, либо параллельна им, и пересекает только дугу $\omega$.

Найдём точку $C$ на дуге $\omega$, где касательная к окружности параллельна прямой $y=x+5$ (то есть перпендикулярна радиусу $QC$). Решая, получаем $C\left(-5+\dfrac{5\sqrt2}{2};\,5-\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)$. Подставив координаты $C$ во второе уравнение, находим соответствующее значение параметра: $a=x-y=5\sqrt2-10$.

Теперь анализируем количество решений системы в зависимости от $a$:

• При $a=-5$ прямая $m$ совпадает с прямой $y=x+5$, то есть содержит целиком оба луча $l_1,l_2$ — решений бесконечно много (больше одного).
• При $a=5\sqrt2-10$ прямая $m$ касается дуги $\omega$ в точке $C$ — ровно одно решение.
• При $-5<a<5\sqrt2-10$ прямая $m$ пересекает дугу $\omega$ в двух точках, а лучей не касается — два решения.
• При $a<-5$ или $a>5\sqrt2-10$ прямая $m$ не пересекает ни дугу, ни лучи — решений нет.

Следовательно, более одного решения система имеет при $a=-5$ и при $-5<a<5\sqrt2-10$, то есть $a\in[-5;\,5\sqrt2-10)$.