Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Раскрываем модуль по определению: $|2x-y-10|=2x-y-10$, если $2x-y-10\ge0$, и $=-(2x-y-10)$, если $2x-y-10<0$. Получаем совокупность двух систем.

В первом случае уравнение $x^2-8x+y^2+4y+15=4(2x-y-10)$ приводится к $(x-8)^2+(y+4)^2=25$ при условии $y\le 2x-10$ — это дуга окружности $\omega_1$ с центром $O_1(8;-4)$, радиус 5, лежащая под прямой $y=2x-10$.

Во втором случае получаем $x^2+y^2=25$ при $y>2x-10$ — дуга $\omega_2$ окружности с центром $O_2(0;0)$, радиус 5, лежащая над той же прямой.

Обе окружности одного радиуса 5, значит их пересечения симметричны относительно прямой $O_1O_2$. Решая систему $(x-8)^2+(y+4)^2=25,\ x^2+y^2=25$, находим точки пересечения $A(5;0)$ и $B(3;-4)$ — они лежат на границе (на прямой $y=2x-10$), поэтому принадлежат обеим дугам.

Прямая $O_1O_2$ имеет угловой коэффициент $-1/2$, значит перпендикулярная ей прямая (касательная к обеим окружностям в общей точке $C$) имеет коэффициент $2$. Решая, находим точку касания $C(\sqrt5;2\sqrt5)$, лежащую на дуге $\omega_2$.

Второе уравнение $x+2y=a$ задаёт семейство прямых, параллельных $O_1O_2$ (коэффициент наклона $-1/2$). Меняя $a$, двигаем эту прямую и считаем пересечения с объединением дуг.

При $a=-5$ прямая проходит через $B$ — 3 решения; при $a=5$ проходит через $A$ — 3 решения. При $a=\pm5\sqrt5$ прямая касается дуг в точке $C$ (симметрично) — 2 решения. Между $-5\sqrt5$ и $-5$, а также между $5$ и $5\sqrt5$ прямая пересекает каждую дугу в двух новых точках — 4 решения. Между $-5$ и $5$ — по одной точке на каждой дуге — 2 решения. Вне интервала $[-5\sqrt5;5\sqrt5]$ — 0 решений.

Условию «более двух решений» удовлетворяют значения, дающие 3 или 4 решения: $a=-5$, $a=5$ и интервалы $(-5\sqrt5;-5)$, $(5;5\sqrt5)$. Объединяя, получаем ответ.