Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Первое уравнение имеет смысл только при $2x+y+6\ge 0$ (область определения корня). Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю с учётом этого условия:

• либо $2x+y+6=0$ — тогда корень равен нулю автоматически, условие ОДЗ выполняется как равенство, значит вся прямая $y=-2x-6$ входит в решение;
• либо $x^2+y^2+4x=0$, то есть $(x+2)^2+y^2=4$ — окружность радиуса 2 с центром $M(-2;0)$, но только та её часть, где $2x+y+6\ge0$ — это дуга, лежащая не ниже прямой $y=-2x-6$.

Итак, график первого уравнения — объединение прямой $y=-2x-6$ и дуги окружности.

2. Второе уравнение $y=a(x-2)$ задаёт пучок прямых, проходящих через фиксированную точку $E(2;0)$ — при любом $a$.

3. Нужно найти, при каких $a$ прямая из пучка пересекает объединение «прямая+дуга» ровно в двух точках. С прямой $y=-2x-6$ пересечение — одна точка при любом $a\ne-2$ (при $a=-2$ прямые параллельны и не совпадают, пересечений нет).

4. С окружностью прямая через $E$ может иметь 0,1 или 2 общих точки. Касательные из $E$ находим через равенство квадрата касательной произведению отрезков секущей: $AE^2=EM^2-r^2=16-4=12$, $AE=2\sqrt3$. Угол наклона касательной: $\tan\theta=\dfrac{r}{AE}=\dfrac{2}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$, отсюда $a_1=-\dfrac{\sqrt3}{3}$, $a_4=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

5. Точки пересечения окружности с прямой $y=-2x-6$ — $B(-3{,}6;1{,}2)$ и $C(-2;-2)$ — ограничивают дугу. Подставляя их в $y=a(x-2)$, получаем $a_2=-\dfrac{3}{14}$ (через $B$) и $a_3=\dfrac12$ (через $C$).

6. Анализируя изменение числа пересечений при движении прямой по пучку (от касания в $A$ через прохождение через $B$, затем через дугу, через $C$, до касания в $D$), получаем: ровно два решения — при касании ($a=a_1$ или $a=a_4$) и при $a_2\le a\le a_3$, когда прямая пересекает дугу и отдельно линию $y=-2x-6$ по одной точке.

Отсюда итоговый ответ: $a\in\left[-\dfrac{3}{14};\dfrac12\right]\cup\left\{-\dfrac{\sqrt3}{3};\dfrac{\sqrt3}{3}\right\}$.