Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Неравенство $(y-2x)(2y-x)\le 0$ задаёт две вертикальные вершины углов между прямыми $y=2x$ и $y=\frac12x$ (произведение знаков меняется в каждой из четырёх частей плоскости, а неравенство берёт две противоположные части, включая сами прямые). Эти прямые симметричны относительно прямой $y=-x$, потому что при замене $x\to -y,\ y\to -x$ уравнение $y=2x$ переходит в $y=\tfrac12x$.

Второе уравнение задаёт окружность $$\sqrt{(x+a)^2+(y-a)^2}=\frac{|a+1|}{\sqrt5},$$ то есть окружность радиуса $R=\dfrac{|a+1|}{\sqrt5}$ с центром $P(-a,a)$. Точка $P$ лежит на прямой $y=-x$ — оси симметрии wedge‑области.

Поскольку центр лежит на оси симметрии, а границы области симметричны, точки пересечения окружности с двумя прямыми всегда идут парами. Ровно два решения получаются, когда окружность касается одной из границ (например, $y=2x$) — тогда касание даёт одну точку на этой прямой и, по симметрии, одну точку касания на второй прямой, всего 2 точки, а внутрь запрещённой зоны окружность не заходит.

Условие касания — равенство радиуса и расстояния от центра до прямой $2x-y=0$: $$d(P,\,2x-y=0)=\frac{|2(-a)-a|}{\sqrt5}=\frac{3|a|}{\sqrt5}.$$ Приравниваем к $R$: $$\frac{3|a|}{\sqrt5}=\frac{|a+1|}{\sqrt5}\ \Rightarrow\ 3|a|=|a+1|.$$ Раскрывая модули (четыре комбинации знаков), получаем уравнения $3a=a+1$ и $3a=-(a+1)$, дающие $a=\dfrac12$ и $a=-\dfrac14$ (остальные варианты повторяют эти же значения). Оба значения дают $R>0$, значит окружность существует, и условие касания выполняется — система имеет ровно два решения.