Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Упрощаем систему. Первое уравнение — равенство логарифмов по одному основанию, значит равны аргументы, при этом аргумент должен быть положительным: $$16-y^2=16-a^2x^2,\quad 16-y^2>0.$$ Отсюда $y^2=(ax)^2$, то есть $y=\pm ax$, а условие $16-y^2>0$ даёт полосу $-4<y<4$.

Второе уравнение приводим к каноническому виду окружности выделением полного квадрата: $$x^2-2x+y^2-4y=0\Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=5.$$ Это окружность с центром $(1;2)$ и радиусом $\sqrt5$.

2. Геометрическая картина. Часть окружности, попадающая в полосу $-4<y<4$ (вся окружность лежит в этой полосе, так как $2-\sqrt5>-4$ и $2+\sqrt5<4$) — это вся окружность, назовём её дугой для наглядности. Прямые $y=ax$ и $y=-ax$ проходят через начало координат и симметричны относительно оси $Oy$; при $a=0$ они совпадают с осью $Ox$.

Нужно найти, при каких $a$ пара прямых пересекает окружность ровно в двух точках (с учётом, что одна общая точка всегда есть — начало координат лежит на окружности, проверим: $(0-1)^2+(0-2)^2=1+4=5$ — да, лежит).

3. Считаем пересечения при $a\ge0$. Точка $(0;0)$ — решение всегда. Нужна ровно одна дополнительная точка пересечения (иначе решений будет больше двух).

• Если $a$ большое ($a\ge2$), прямая $y=-ax$ пересекает окружность во второй точке, а прямая $y=ax$ касается только в начале координат — получаем ровно 2 решения.
• При $a=0$ обе прямые совпадают с осью $Ox$, которая пересекает окружность в точках $(0;0)$ и $(2;0)$ — тоже 2 решения.
• Граничный случай: прямая $y=ax$ становится касательной к окружности в точке $(0;0)$, тогда вторая прямая $y=-ax$ даёт единственную дополнительную точку. Касательная перпендикулярна радиусу, идущему в точку касания $(0;0)$, а этот радиус лежит на прямой $y=2x$ (соединяет центр $(1;2)$ и точку $(0;0)$). Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых удовлетворяют $k\cdot2=-1$, отсюда $k=-1/2$, то есть $a=1/2$.

Таким образом при $a\ge0$ подходят значения $a=0$, $a=1/2$, $a\ge2$.

4. Симметрия по $a$. Замена $a\to-a$ не меняет пару прямых $\{y=ax,\;y=-ax\}$, поэтому множество решений симметрично относительно нуля. Значит подходят и $a=-1/2$, $a\le-2$.

5. Итог. Объединяя все случаи: $$a\in(-\infty;-2]\cup\{-1/2;\,0;\,1/2\}\cup[2;+\infty).$$