Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Первое уравнение $x^2+y^2=a$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt a$ (при $a=0$ — точку, при $a<0$ решений нет).

Второе уравнение $\sin(\pi x+\pi y)=0$ равносильно $\pi x+\pi y=\pi k,\ k\in\mathbb Z$, то есть $x+y=k$, или $y=-x+k$. Это бесконечное семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$, сдвинутых друг от друга на расстояние $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (расстояние между соседними прямыми $x+y=k$ и $x+y=k+1$ равно $\dfrac{1}{\sqrt2}$).

При $a<0$ решений нет, при $a=0$ окружность вырождается в точку — одно решение. Значит, ищем $a>0$.

Центральная прямая $y=-x$ (при $k=0$) проходит через центр окружности, поэтому она пересекает окружность в двух точках при любом $a>0$ — это даёт 2 решения.

Чтобы всего получилось ровно 4 решения, нужно, чтобы ещё ровно две прямые семейства касались окружности (касание даёт по одной точке каждая), а остальные прямые (при $|k|\ge2$) не пересекали окружность вовсе.

Из симметрии относительно центра прямые $y=-x+1$ и $y=-x-1$ находятся на одинаковом расстоянии от центра, равном половине расстояния между соседними прямыями умноженной на 2, то есть $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (расстояние от начала координат до прямой $x+y=1$: $d=\dfrac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$).

Касание прямой и окружности происходит, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу: $\sqrt a=\dfrac{\sqrt2}{2}$, откуда $a=\dfrac12$.

При этом значении $a$ прямые $k=\pm1$ касаются окружности (по 1 точке каждая), $k=0$ даёт 2 точки, а прямые с $|k|\ge2$ находятся дальше и не пересекают окружность. Итого $2+1+1=4$ решения — то, что нужно.

При других $a>0$ либо обе эти прямые пересекают окружность в двух точках (больше решений), либо не пересекают вовсе (меньше решений), поэтому единственное подходящее значение — $a=\dfrac12$.