Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Модуль раскрываем по определению: если $6x-2a\ge0$, то $|6x-2a|=6x-2a$, иначе $|6x-2a|=2a-6x$. Получаем совокупность двух систем: $$\begin{cases}x^2+a^2-2x-6a=6x-2a\\6x-2a\ge0\end{cases}\quad\text{или}\quad\begin{cases}x^2+a^2-2x-6a=2a-6x\\6x-2a<0\end{cases}$$ Приводим уравнения: $x^2-8x+a^2-4a=0$ и $x^2+4x+a^2-8a=0$. Выделяем полные квадраты (дополняем до $(x-4)^2$ и $(a-2)^2$ в первом случае, $(x+2)^2$ и $(a-4)^2$ во втором): $$(x-4)^2+(a-2)^2=(2\sqrt5)^2,\quad a\le3x$$ $$(x+2)^2+(a-4)^2=(2\sqrt5)^2,\quad a>3x$$ Это уравнения окружностей радиуса $2\sqrt5$ с центрами $(4;2)$ и $(-2;4)$ в осях $xOa$. Из-за условий на прямую $a=3x$ берём не полные окружности, а только их дуги — ту часть первой окружности, что лежит под прямой $a=3x$, и ту часть второй, что лежит над ней.

Найдём, где дуги стыкуются: подставляем $a=3x$ в оба уравнения окружностей и решаем — получаем точки $O(0;0)$ и $A(2;6)$. Крайние по вертикали точки каждой окружности (где $a$ принимает минимальное и максимальное значение) находятся на уровне $a=2\pm2\sqrt5$ (для первой) и $a=4\pm2\sqrt5$ (для второй), так как это радиус, отложенный от центра по вертикали.

Число корней исходного уравнения при фиксированном $a$ равно числу точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с построенным графиком (объединением двух дуг). Анализируя, как горизонтальная линия проходит через рисунок, снизу вверх считаем количество пересечений на каждом промежутке. Ровно два пересечения получаются на промежутках $(2-2\sqrt5;\,4-2\sqrt5)$, $(0;6)$ и $(2+2\sqrt5;\,4+2\sqrt5)$ — именно там прямая пересекает график ровно в двух точках, не касаясь стыков дуг и не проходя через тройные точки пересечения ($a=0$, $a=6$ и вершины дуг дают 1 или 3 корня).

Отсюда и получаем итоговый ответ.