Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Введём $t=\cos x,\ s=\sin x$. Тогда уравнение $-3\sin x-5\cos x=a$ переписывается как $s=-\dfrac53t-\dfrac{a}{3}$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-\dfrac53$, которые пересекают ось $s$ в точке $s_0=-\dfrac{a}{3}$.

Так как $t^2+s^2=1$, все точки $(t,s)$ лежат на единичной окружности. Корни исходного уравнения — это точки пересечения прямой с окружностью, причём каждой точке соответствует своё $x$.

На отрезке $x\in[-\pi/3,\pi/3]$ функция $\cos x$ принимает значения от $\cos(\pi/3)=\dfrac12$ до $\cos 0=1$, то есть $t\ge\dfrac12$. Значит нас интересует не вся окружность, а только её дуга, где $t\ge\dfrac12$ (верхняя часть, включающая точки $(\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2})$).

Нужно найти, при каких положениях прямой (то есть при каких $s_0$) она пересекает эту дугу ровно в двух точках.

Крайний случай сверху — прямая касается окружности (одна общая точка, кратная), при этом дальше пересечений с дугой нет. Расстояние от центра $O(0,0)$ до прямой $\dfrac53t+s-s_2=0$ равно радиусу 1: $$\dfrac{|s_2|}{\sqrt{(5/3)^2+1}}=1\Rightarrow |s_2|=\dfrac{\sqrt{34}}{3}.$$ Берём $s_2=\dfrac{\sqrt{34}}{3}>0$ (касание происходит именно с верхней частью дуги). При $s_0=s_2$ точек пересечения с дугой — одна (касание), поэтому это значение не подходит, нужно строгое неравенство.

Крайний случай снизу — прямая проходит через конец дуги $(t,s)=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2})$. Подставляя в уравнение прямой: $$\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac53\cdot\dfrac12+s_1\Rightarrow s_1=\dfrac{3\sqrt3+5}{6}.$$ При этом положении одна точка пересечения приходится ровно на конец дуги, а вторая — ещё на дуге, то есть решений два; значит это значение включается.

Таким образом, для двух корней нужно $s_1\le s_0< s_2$, то есть $$\dfrac{3\sqrt3+5}{6}\le -\dfrac{a}{3} < \dfrac{\sqrt{34}}{3}.$$

Умножая на $-3$ (меняя знаки неравенств), получаем $$-\sqrt{34} < a \le -\dfrac{3\sqrt3+5}{2}.$$