Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Уравнение с одинаковым знаменателем равносильно системе: числители равны, а подкоренное выражение положительно (чтобы дробь была определена и не равнялась нулю в знаменателе): $$\begin{cases} x^2+4x=2a-a^2+31\\ a-x^2-ax-6x+7>0\end{cases}$$

Переносим всё в первое уравнение и выделяем полные квадраты по x и по a: $$x^2+4x+4+(a-1)^2=36 \;\Rightarrow\; (x+2)^2+(a-1)^2=36.$$ Это окружность с центром $(-2;1)$ и радиусом $6$ в системе координат $xOa$.

Неравенство раскладываем на множители: $$a(1-x)-(x^2+6x-7)>0 \;\Rightarrow\; (x-1)\big(-a-x-7\big)>0,$$ что равносильно $(x-1)(a+x+7)<0$. Это условие задаёт две пары противоположных «углов» между прямыми $x=1$ и $a=-x-7$, делящими плоскость на 4 части.

Теперь ищем точки пересечения этих прямых с окружностью:

• прямая $x=1$ даёт $a=1\pm3\sqrt3$ (точки $B,D$);
• прямая $a=-x-7$ при $x=-2$ даёт $a=-5$, при $x=-8$ даёт $a=1$ (точки $A,C$).

Область, где выполняется неравенство, — это две дуги окружности между этими точками (дуга $AB$ и дуга $CD$), лежащие внутри «нужных» углов.

Значение $a$ даёт ровно один корень $x$, если горизонтальная прямая $a=\text{const}$ пересекает выбранные дуги ровно один раз. Анализ показывает, что это происходит при: $$-5<a<1-3\sqrt3,\qquad 1<a\le1+3\sqrt3,\qquad a=7.$$ Последнее значение $a=7$ соответствует касанию окружности (единственная точка на границе, дающая один корень).

Объединяя эти промежутки, получаем итоговый ответ.