Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Область определения корня требует $2xy+a\ge 0$, а само равенство $\sqrt{2xy+a}=x+y+5$ возможно только если правая часть неотрицательна, поэтому вводим условие $x+y+5\ge 0$.

2. При этом условии обе части можно возвести в квадрат без потери равносильности: $$2xy+a=(x+y+5)^2=x^2+y^2+2xy+10x+10y+25.$$ После сокращения $2xy$ получаем $$a=x^2+10x+y^2+10y+25.$$

3. Выделяем полные квадраты: $x^2+10x=(x+5)^2-25$, $y^2+10y=(y+5)^2-25$. Тогда $$(x+5)^2+(y+5)^2=a+25.$$ Это уравнение окружности с центром $P(-5;-5)$ и радиусом $R=\sqrt{a+25}$, если $a>-25$.

4. Условие $x+y+5\ge0$ задаёт полуплоскость с границей — прямой $x+y+5=0$. Центр $P(-5;-5)$ даёт значение $-5+(-5)+5=-5<0$, то есть центр лежит в противоположной (запрещённой) полуплоскости.

5. Расстояние от центра до прямой: $$d=\frac{|-5-5+5|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt2}.$$ Окружность целиком лежит в запрещённой полуплоскости (то есть система не имеет решений) тогда и только тогда, когда её радиус меньше этого расстояния: $$\sqrt{a+25}<\frac{5}{\sqrt2}.$$

6. Возводя в квадрат: $a+25<\dfrac{25}{2}$, откуда $a<-12{,}5$.

7. При $a\le -25$ уравнение либо вовсе не имеет решений (при $a<-25$, так как $(x+5)^2+(y+5)^2\ge0$), либо имеет единственное решение $(-5;-5)$, которое не удовлетворяет неравенству $x+y+5\ge0$ (при $a=-25$). Значит эти значения тоже дают отсутствие решений исходного уравнения.

Объединяя все случаи, получаем итоговое множество значений параметра: $a<-12{,}5$.