Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Введём $t=\sqrt{2\pi a x-4x^2}\ge 0$. Тогда уравнение принимает вид $\cos t+\cos 2t=0$.

По формуле суммы косинусов: $2\cos\frac{3t}{2}\cos\frac{t}{2}=0$, отсюда $t=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$. Так как $t\ge0$, оставляем только $k=0,1,2,\dots$, получая возрастающую серию значений $t=\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3},\dots$

Преобразуем подкоренное выражение: $2\pi a x-4x^2=R^2-(R-y)^2$, где $R=\frac{\pi a}{2}$, $y=2x$. Тогда $t=\sqrt{R^2-(R-y)^2}$, что при $a=0$ даёт $t\equiv0$ — решений нет, поэтому $a\ne0$.

Уравнение $(y-R)^2+t^2=R^2$, $t\ge0$ — верхняя полуокружность радиуса $|R|$ с центром $(R;0)$ в осях $(y,t)$. Каждому значению $t$ из интервала $(0,|R|)$ соответствуют две точки полуокружности, то есть два значения $x$; при $t=0$ и $t=|R|$ — по одному пересечению линии с окружностью, дающему опять же особые случаи.

Число решений исходного уравнения равно суммарному числу пересечений горизонтальных прямых $t=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3}$ с этой полуокружностью. Так как соседние уровни отличаются на $\frac{2\pi}{3}$, ровно два решения получаются, если только первая прямая $t=\frac{\pi}{3}$ пересекает полуокружность (даёт 2 точки), а следующая $t=\pi$ уже выше максимума $|R|$ (не пересекает).

Значит, требуется $\frac{\pi}{3}<|R|<\pi$, то есть $\frac{\pi}{3}<\frac{\pi|a|}{2}<\pi$, откуда $\frac{2}{3}<|a|<2$.

Раскрывая модуль, получаем $a\in(-2;-\frac{2}{3})\cup(\frac{2}{3};2)$.