ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнение окружности

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Уравнение окружностиВозведение в квадрат с учётом ОДЗ

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение a плюс корень из: начало аргумента: 6x минус x в квадрате минус 8 конец аргумента =3 плюс корень из: начало аргумента: 1 плюс 2ax минус a в квадрате минус x в квадрате конец аргумента имеет ровно один корень.

В подтеме 50 задач
Разбор
Главная идея: Свернуть оба радикала в уравнения окружностей радиуса 1 и свести задачу к подсчёту точек пересечения двух верхних полуокружностей, центр одной из которых движется по прямой y=−xy=-x.
  1. Заметим, что 6x−x2−8=1−(x−3)26x-x^2-8=1-(x-3)^2, а 1+2ax−a2−x2=1−(x−a)21+2ax-a^2-x^2=1-(x-a)^2. Значит уравнение переписывается как a+1−(x−3)2=3+1−(x−a)2a+\sqrt{1-(x-3)^2}=3+\sqrt{1-(x-a)^2}, то есть 1−(x−3)2−3=1−(x−a)2−a.\sqrt{1-(x-3)^2}-3=\sqrt{1-(x-a)^2}-a.
  2. Обозначим y=1−(x−3)2−3y=\sqrt{1-(x-3)^2}-3. Возведя в квадрат, получаем (y+3)2+(x−3)2=1(y+3)^2+(x-3)^2=1, y≥−3y\ge -3 — это верхняя половина окружности радиуса 1 с центром (3;−3)(3;-3). Аналогично y=1−(x−a)2−ay=\sqrt{1-(x-a)^2}-a задаёт верхнюю половину окружности радиуса 1 с центром (a;−a)(a;-a), причём y≥−ay\ge -a.
  3. Значит число корней исходного уравнения равно числу общих точек этих двух полуокружностей. Центр второй окружности при изменении aa движется по прямой y=−xy=-x.
  4. Обе полуокружности имеют одинаковый радиус 1. Расстояние между центрами d=∣a−3∣2d=|a-3|\sqrt2. — При a=3a=3 центры совпадают, окружности совпадают целиком — бесконечно много решений, не подходит. — Проверка крайних точек: точка (4;−3)(4;-3) — конец первой полуокружности — лежит на второй окружности при a=4a=4: (−3+4)2+(4−4)2=1(-3+4)^2+(4-4)^2=1. Это даёт ровно одну общую точку. — Точка (3;−2)(3;-2) — конец второй полуокружности — лежит на первой при a=2a=2: (−2+3)2+(3−3)2=1(-2+3)^2+(3-3)^2=1. Тоже одна общая точка.
  5. Для aa между 2 и 3, а также между 3 и 4 (кроме самого 3) полуокружности пересекаются ровно в одной внутренней точке — это следует из непрерывного движения центра вдоль прямой y=−xy=-x и того, что при a=2a=2 и a=4a=4 достигаются крайние касания. Итого условие ровно одного корня выполняется при a∈[2;3)∪(3;4]a\in[2;3)\cup(3;4].

Типичные ошибки

  • Забывают учесть ограничение y≥−3y\ge -3 (или y≥−ay\ge -a), из-за чего рассматривают полные окружности вместо полуокружностей и теряют условие на крайние точки.
  • Не проверяют случай a=3a=3, когда окружности совпадают целиком, и ошибочно включают его в ответ.
  • Неверно определяют крайние точки полуокружностей (концы диаметра, где y=−3y=-3 или y=−ay=-a), что приводит к неправильным границам интервала.
Непонятно?

Похожие задачи