Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

1. Первое уравнение $x(x^2+y^2-y-2)=|x|(y-2)$ разбираем по знаку $x$.

Если $x>0$, то $|x|=x$, делим на $x$: $x^2+y^2-y-2=y-2\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$ — окружность с центром $Q(0;1)$, радиус 1; берём только $x>0$, получаем дугу $\omega_1$ от $O(0;0)$ до $A(0;2)$.

Если $x<0$, то $|x|=-x$: после деления $x^2+y^2-4=0$ — окружность радиуса 2 с центром в начале координат; при $x<0$ это дуга $\omega_2$ от $A(0;2)$ до $B(0;-2)$.

Если $x=0$, равенство $0=0$ верно при любом $y$ — вся ось $Oy$ (прямая $l$).

Таким образом множество решений первого уравнения — объединение дуг $\omega_1,\omega_2$ и прямой $l:x=0$.

2. Второе уравнение $y=x+a$ задаёт прямую $m$ с угловым коэффициентом 1, сдвигаемую по параметру $a$.

3. Прямая $m$ всегда пересекает $l$ ровно в одной точке $(0;a)$ — это одно решение всегда.

4. Считаем пересечения $m$ с дугами (без учёта точки на оси, чтобы не дублировать):

• с $\omega_1$: одна точка при $a=1-\sqrt2$ (касание) и при $0\le a\le2$; две точки при $1-\sqrt2<a\le0$.
• с $\omega_2$: одна точка при $-2\le a<2$ и при $a=2\sqrt2$ (касание); две точки при $2\le a<2\sqrt2$.

5. Всего решений = 1 (точка на $l$) + число точек на $\omega_1$ + число точек на $\omega_2$ (учитывая совпадения в концевых точках $O,A,B$, которые уже посчитаны на $l$).

Проверяя все интервалы, ровно три решения получаются при $a=1-\sqrt2$ (1+1+1), при $0\le a<2$ (1+1+1) и при $2<a<2\sqrt2$ (1+0+2).