Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Уравнение окружности

Шаг 1. Случай $a<0$. Уравнение $x^2+y^2=a$ не имеет решений (сумма квадратов не может быть отрицательной), значит обе системы не имеют решений — они равносильны (у обоих пустое множество решений).

Шаг 2. Случай $a=0$. Тогда $x^2+y^2=0$ даёт единственную точку $x=0,\ y=0$. Она удовлетворяет и $\sin(x+y)=0$, и $x+y=0$. Значит обе системы имеют одно и то же единственное решение — системы равносильны.

Шаг 3. Случай $a>0$. Второе уравнение задаёт окружность радиуса $\sqrt a$ с центром в начале координат. Первое уравнение первой системы $\sin(x+y)=0$ равносильно совокупности прямых $x+y=\pi n,\ n\in\mathbb Z$ (это все прямые, параллельные $x+y=0$, полученные из корней синуса). Вторая система содержит только прямую $x+y=0$ (случай $n=0$).

Чтобы системы совпадали по множеству решений, окружность должна пересекаться только с прямой $n=0$, а с соседними прямыми ($n=\pm1$, т.е. $x+y=\pi$ и $x+y=-\pi$, ближайшими к центру) — не пересекаться. Расстояние от центра до прямой $x+y=\pi$ равно $\dfrac{\pi}{\sqrt2}$. Чтобы окружность не достигала этой прямой, нужно $\sqrt a<\dfrac{\pi}{\sqrt2}$, то есть $0<a<\dfrac{\pi^2}{2}$.

Шаг 4. Объединение случаев. Складывая $a\le 0$ и $0<a<\dfrac{\pi^2}{2}$, получаем итоговое множество значений параметра.